以下の3つの不定積分を求めよ。 (1) $\int x \cos x \, dx$ (2) $\int (2x-1) \log x \, dx$ (3) $\int (x+1) e^x \, dx$

1. 問題の内容

以下の3つの不定積分を求めよ。

(1) $\int x \cos x \, dx$

(2) $\int (2x-1) \log x \, dx$

(3) $\int (x+1) e^x \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int x \cos x \, dx$ の場合

部分積分を用いる。$u = x$, $dv = \cos x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = \sin x$ である。したがって、

$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C$

(2) $\int (2x-1) \log x \, dx$ の場合

部分積分を用いる。$u = \log x$, $dv = (2x-1) \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x^2 - x$ である。したがって、

$\int (2x-1) \log x \, dx = (x^2 - x) \log x - \int (x^2 - x) \frac{1}{x} dx = (x^2 - x) \log x - \int (x - 1) dx = (x^2 - x) \log x - (\frac{1}{2}x^2 - x) + C = (x^2 - x) \log x - \frac{1}{2}x^2 + x + C$

(3) $\int (x+1) e^x \, dx$ の場合

部分積分を用いる。$u = x+1$, $dv = e^x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ である。したがって、

$\int (x+1) e^x \, dx = (x+1) e^x - \int e^x \, dx = (x+1) e^x - e^x + C = xe^x + e^x - e^x + C = xe^x + C$

あるいは、$\int (x+1)e^x \, dx = \int xe^x \, dx + \int e^x \, dx$と変形して、$\int xe^x \, dx$を部分積分で計算してもよい。

$u = x$, $dv = e^x dx$とすると、$du = dx$, $v = e^x$。

よって、$\int xe^x \, dx = xe^x - \int e^x \, dx = xe^x - e^x + C$

したがって、$\int (x+1)e^x \, dx = xe^x - e^x + e^x + C = xe^x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x \cos x \, dx = x \sin x + \cos x + C$

(2) $\int (2x-1) \log x \, dx = (x^2 - x) \log x - \frac{1}{2}x^2 + x + C$

(3) $\int (x+1) e^x \, dx = xe^x + C$