問題は、以下の不定積分と定積分を求めることです。 (1) $\int (x+2)^2 dx$ (2) $\int (3x-4)^3 dx$ (3) $\int_{-2}^{3} (x-1)^3 dx$ (4) $\int_{-2}^{2} (3x-2)^2 dx$

1. 問題の内容

問題は、以下の不定積分と定積分を求めることです。

(1) $\int (x+2)^2 dx$

(2) $\int (3x-4)^3 dx$

(3) $\int_{-2}^{3} (x-1)^3 dx$

(4) $\int_{-2}^{2} (3x-2)^2 dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (x+2)^2 dx$

$(x+2)^2$を展開すると、$x^2 + 4x + 4$となります。

$\int (x^2 + 4x + 4) dx = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x + C$

(2) $\int (3x-4)^3 dx$

$u = 3x - 4$とおくと、$du = 3 dx$となり、$dx = \frac{1}{3}du$となります。

$\int u^3 \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^3 du = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^4 + C = \frac{1}{12} u^4 + C = \frac{1}{12} (3x-4)^4 + C$

(3) $\int_{-2}^{3} (x-1)^3 dx$

$u = x-1$とおくと、$du = dx$。

積分範囲は$x=-2$のとき$u=-3$、$x=3$のとき$u=2$となります。

$\int_{-3}^{2} u^3 du = [\frac{1}{4} u^4]_{-3}^{2} = \frac{1}{4} (2^4 - (-3)^4) = \frac{1}{4} (16 - 81) = \frac{1}{4} (-65) = -\frac{65}{4}$

(4) $\int_{-2}^{2} (3x-2)^2 dx$

$(3x-2)^2$を展開すると、$9x^2 - 12x + 4$となります。

$\int_{-2}^{2} (9x^2 - 12x + 4) dx = [3x^3 - 6x^2 + 4x]_{-2}^{2} = (3(2^3) - 6(2^2) + 4(2)) - (3(-2)^3 - 6(-2)^2 + 4(-2)) = (24 - 24 + 8) - (-24 - 24 - 8) = 8 - (-56) = 8 + 56 = 64$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x + C$

(2) $\frac{1}{12} (3x-4)^4 + C$

(3) $-\frac{65}{4}$

(4) $64$