$0 \le x \le 2\pi$ において、2曲線 $y = \sin x$ と $y = \cos x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 2\pi$ において、2曲線 $y = \sin x$ と $y = \cos x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin x = \cos x$ となる $x$ を求めます。これは、$\tan x = 1$ と同値なので、$x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ です。

次に、区間 $[0, 2\pi]$ を $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$ で分割し、各区間で $\sin x$ と $\cos x$ の大小関係を調べます。

- $0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ のとき、$\cos x \ge \sin x$

- $\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{4}$ のとき、$\sin x \ge \cos x$

- $\frac{5\pi}{4} \le x \le 2\pi$ のとき、$\cos x \ge \sin x$

したがって、求める面積 $S$ は、

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) dx + \int_{\frac{5\pi}{4}}^{2\pi} (\cos x - \sin x) dx$

各積分を計算します。

$\int (\cos x - \sin x) dx = \sin x + \cos x + C$

$\int (\sin x - \cos x) dx = -\cos x - \sin x + C$

したがって、

$S = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} + [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} + [\sin x + \cos x]_{\frac{5\pi}{4}}^{2\pi}$

$S = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4} - (\sin 0 + \cos 0)) + (-\cos \frac{5\pi}{4} - \sin \frac{5\pi}{4} - (-\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4})) + (\sin 2\pi + \cos 2\pi - (\sin \frac{5\pi}{4} + \cos \frac{5\pi}{4}))$

$S = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (0 + 1)) + (-\frac{-\sqrt{2}}{2} - \frac{-\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})) + (0 + 1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}))$

$S = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} + \sqrt{2}) + (1 + \sqrt{2})$

$S = \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$S = 4\sqrt{2}$