$a > 0$, $b > 0$ とする。$xy$ 平面上の楕円 $(\frac{x}{a})^2 + (\frac{y}{b})^2 = 1$ を $x$ 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積 $V$ を $a, b$ の式で表す。

1. 問題の内容

$a > 0$, $b > 0$ とする。$xy$ 平面上の楕円 $(\frac{x}{a})^2 + (\frac{y}{b})^2 = 1$ を $x$ 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積 $V$ を $a, b$ の式で表す。

2. 解き方の手順

楕円の方程式 $(\frac{x}{a})^2 + (\frac{y}{b})^2 = 1$ を $y$ について解く。

$(\frac{y}{b})^2 = 1 - (\frac{x}{a})^2$

$\frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{x^2}{a^2}$

$y^2 = b^2 (1 - \frac{x^2}{a^2})$

$y = \pm b \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}$

$x$ 軸回転体の体積 $V$ は、積分で求めることができる。$x$ の範囲は $-a$ から $a$ である。回転体の体積は、正の部分を回転させたものを2倍すれば良いので、

$V = \pi \int_{-a}^{a} y^2 dx = \pi \int_{-a}^{a} b^2 (1 - \frac{x^2}{a^2}) dx = 2\pi \int_{0}^{a} b^2 (1 - \frac{x^2}{a^2}) dx$

$V = 2\pi b^2 \int_{0}^{a} (1 - \frac{x^2}{a^2}) dx$

$V = 2\pi b^2 [x - \frac{x^3}{3a^2}]_{0}^{a}$

$V = 2\pi b^2 (a - \frac{a^3}{3a^2})$

$V = 2\pi b^2 (a - \frac{a}{3})$

$V = 2\pi b^2 (\frac{2a}{3})$

$V = \frac{4}{3} \pi ab^2$

3. 最終的な答え

$V = \frac{4}{3} \pi ab^2$