2つの曲線 $y^2 = 4x$ と $x^2 = 4y$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y^2 = 4x$ と $x^2 = 4y$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線の交点を求める。

$y^2 = 4x$ より、$y = \pm 2\sqrt{x}$。

$x^2 = 4y$ より、$y = \frac{x^2}{4}$。

交点を求めるには、$y$ を消去する。$\frac{x^2}{4} = 2\sqrt{x}$ の場合と $\frac{x^2}{4} = -2\sqrt{x}$ の場合がある。

$\frac{x^2}{4} = 2\sqrt{x}$ の場合、両辺を2乗して、$\frac{x^4}{16} = 4x$。

$x^4 = 64x$。

$x^4 - 64x = 0$。

$x(x^3 - 64) = 0$。

$x = 0$ または $x^3 = 64$ より、$x = 4$。

$x=0$ のとき、$y = \frac{0^2}{4} = 0$。

$x=4$ のとき、$y = \frac{4^2}{4} = 4$。

よって、交点は $(0, 0)$ と $(4, 4)$。

$\frac{x^2}{4} = -2\sqrt{x}$ の場合、両辺を2乗して $\frac{x^4}{16} = 4x$。したがって、交点は同じく $(0,0)$ と $(4,4)$。

$y^2=4x$ より $y=2\sqrt{x}$ であるから，$y=\frac{x^2}{4}$との交点を考える。

$2\sqrt{x} \geq \frac{x^2}{4}$ (区間 $[0,4]$ で成立)

面積 $S$ は、

$S = \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx$

$S = \int_{0}^{4} (2x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4}x^2) dx$

$S = [2 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}x^3]_{0}^{4}$

$S = [\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{12}x^3]_{0}^{4}$

$S = (\frac{4}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{12} \cdot 4^3) - (\frac{4}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{12} \cdot 0^3)$

$S = (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{1}{12} \cdot 64)$

$S = \frac{32}{3} - \frac{64}{12}$

$S = \frac{32}{3} - \frac{16}{3}$

$S = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{3}$