与えられた積分を計算します。 $\int \frac{dx}{1 + \cos x}$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \frac{dx}{1 + \cos x}$

2. 解き方の手順

まず、$1 + \cos x$ を半角の公式を用いて変形します。

$\cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1$

したがって、

$1 + \cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2}$

与えられた積分は、

$\int \frac{dx}{1 + \cos x} = \int \frac{dx}{2\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{2}}$

ここで、$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ であることを用いると、

$\frac{1}{2} \int \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} dx$

ここで、$\tan x$ の微分が $\sec^2 x$ であることと、合成関数の微分を考慮すると、

$\int \sec^2 \frac{x}{2} dx = 2 \tan \frac{x}{2} + C$

したがって、

$\frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} (2 \tan \frac{x}{2} + C) = \tan \frac{x}{2} + C'$

ここで、$C'$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\tan \frac{x}{2} + C$