不定積分 $\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を用います。$t = \sqrt{2x+1}$ と置換すると、$t^2 = 2x+1$ となり、$x = \frac{t^2-1}{2}$ となります。

両辺を $x$ で微分すると、$2t \frac{dt}{dx} = 2$ より、$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{t}$ となり、$dx = t dt$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx = \int \frac{\frac{t^2-1}{2}}{t} t dt = \int \frac{t^2-1}{2} dt$

$= \frac{1}{2} \int (t^2-1) dt = \frac{1}{2} (\frac{t^3}{3} - t) + C = \frac{t^3}{6} - \frac{t}{2} + C$

$= \frac{(\sqrt{2x+1})^3}{6} - \frac{\sqrt{2x+1}}{2} + C = \frac{(2x+1)\sqrt{2x+1}}{6} - \frac{\sqrt{2x+1}}{2} + C$

$= \frac{\sqrt{2x+1}}{6} (2x+1 - 3) + C = \frac{\sqrt{2x+1}}{6} (2x-2) + C$

$= \frac{2(x-1)\sqrt{2x+1}}{6} + C = \frac{(x-1)\sqrt{2x+1}}{3} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{(x-1)\sqrt{2x+1}}{3} + C$