(1) 曲線 $y = \log x$ と、$x$ 軸、$y$ 軸、および直線 $y = 2$ に囲まれた部分を $y$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求める問題です。 (2) 曲線 $C$: $\begin{cases} x = \cos 2t \\ y = \sin 2t \end{cases}$ $(0 \le t \le \pi)$ の長さ $L$ を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y = \log x$ と、$x$ 軸、$y$ 軸、および直線 $y = 2$ に囲まれた部分を $y$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求める問題です。

(2) 曲線 $C$: $\begin{cases} x = \cos 2t \\ y = \sin 2t \end{cases}$ $(0 \le t \le \pi)$ の長さ $L$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = \log x$ を $x$ について解くと、$x = e^y$ となります。回転体の体積 $V$ は、$\int_a^b \pi x^2 dy$ で計算できます。この場合、$a = 0$, $b = 2$, $x = e^y$ なので、

$V = \pi \int_0^2 (e^y)^2 dy = \pi \int_0^2 e^{2y} dy$

$\int e^{2y} dy = \frac{1}{2} e^{2y} + C$ なので、

$V = \pi [\frac{1}{2} e^{2y}]_0^2 = \pi (\frac{1}{2} e^4 - \frac{1}{2} e^0) = \pi (\frac{1}{2} e^4 - \frac{1}{2}) = \frac{\pi}{2} (e^4 - 1)$

したがって、体積は $V = \frac{\pi}{2} (e^4 - 1)$ となります。

(2) 曲線 $C$: $\begin{cases} x = \cos 2t \\ y = \sin 2t \end{cases}$ $(0 \le t \le \pi)$ の長さ $L$ を求めます。

$\frac{dx}{dt} = -2\sin 2t$

$\frac{dy}{dt} = 2\cos 2t$

$L = \int_0^\pi \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt = \int_0^\pi \sqrt{(-2\sin 2t)^2 + (2\cos 2t)^2} dt$

$L = \int_0^\pi \sqrt{4\sin^2 2t + 4\cos^2 2t} dt = \int_0^\pi \sqrt{4(\sin^2 2t + \cos^2 2t)} dt = \int_0^\pi \sqrt{4} dt$

$L = \int_0^\pi 2 dt = [2t]_0^\pi = 2\pi - 0 = 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $V = \frac{\pi}{2} (e^4 - 1)$

(2) $L = 2\pi$