次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to 0} \left( \frac{2^x + 8^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}}$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{2^x + 8^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}}$

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、まず $y = \left( \frac{2^x + 8^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}}$ とおき、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \frac{1}{x} \ln \left( \frac{2^x + 8^x}{2} \right)$

次に、$x \to 0$ のときの $\ln y$ の極限を求めます。$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln \left( \frac{2^x + 8^x}{2} \right)}{x}$

この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

分子を $f(x) = \ln \left( \frac{2^x + 8^x}{2} \right)$ 、分母を $g(x) = x$ とおくと、

$f'(x) = \frac{1}{\frac{2^x + 8^x}{2}} \cdot \frac{2^x \ln 2 + 8^x \ln 8}{2} = \frac{2^x \ln 2 + 8^x \ln 8}{2^x + 8^x}$

$g'(x) = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2^x \ln 2 + 8^x \ln 8}{2^x + 8^x} = \frac{\ln 2 + \ln 8}{1 + 1} = \frac{\ln 2 + \ln 2^3}{2} = \frac{\ln 2 + 3 \ln 2}{2} = \frac{4 \ln 2}{2} = 2 \ln 2 = \ln 2^2 = \ln 4$

つまり、$\lim_{x \to 0} \ln y = \ln 4$ なので、$\lim_{x \to 0} y = 4$

3. 最終的な答え

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