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$0 \le \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 \le \beta \le \pi$ のとき、$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$ を用いて、$\sin \alpha = \cos 2\beta$ を満たす $\beta$ を $\alpha$ で表せ。

解析学三角関数三角関数の合成方程式
2025/8/9

1. 問題の内容

0≤α<π20 \le \alpha < \frac{\pi}{2}, 0≤β≤π0 \le \beta \le \pi のとき、cos⁡(π2−α)=sin⁡α\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha を用いて、sin⁡α=cos⁡2β\sin \alpha = \cos 2\beta を満たす β\beta を α\alpha で表せ。

2. 解き方の手順

与えられた式 sin⁡α=cos⁡2β\sin \alpha = \cos 2\beta を変形して、β\beta を α\alpha で表します。
まず、cos⁡(π2−α)=sin⁡α\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha の関係を利用します。問題文にある通り sin⁡α=cos⁡(π2−α)\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)です。
したがって、与えられた式は
cos⁡(π2−α)=cos⁡2β\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos 2\beta
となります。
cos⁡x=cos⁡y\cos x = \cos y を満たす x,yx, y について、x=2nπ±yx = 2n\pi \pm y (nnは整数) が成り立ちます。したがって、
π2−α=2nπ±2β\frac{\pi}{2} - \alpha = 2n\pi \pm 2\beta
となります。
これから 2β2\beta について解くと、
2β=2nπ±(π2−α)2\beta = 2n\pi \pm (\frac{\pi}{2} - \alpha)
β=nπ±(π4−α2)\beta = n\pi \pm (\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})
となります。
ここで、0≤α<π20 \le \alpha < \frac{\pi}{2} かつ 0≤β≤π0 \le \beta \le \pi であることに注意します。
β=nπ+(π4−α2)\beta = n\pi + (\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) の場合：
n=0n=0 のとき、β=π4−α2\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} となります。
このとき、π4−α2>0\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} > 0 であり、0≤α<π20 \le \alpha < \frac{\pi}{2}より0<α2<π40 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}なので、π4−π4<π4−α2<π4\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}つまり、0<π4−α2<π40 < \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}であるから、0≤β≤π0 \le \beta \le \piを満たします。
n=1n=1 のとき、β=π+π4−α2=5π4−α2\beta = \pi + \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} = \frac{5\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}となります。
このとき、5π4−α2>π\frac{5\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} > \pi となるので、0≤β≤π0 \le \beta \le \pi を満たしません。
β=nπ−(π4−α2)\beta = n\pi - (\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) の場合：
n=0n=0 のとき、β=−(π4−α2)=α2−π4\beta = -(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}となります。
このとき、α=0\alpha=0の時β=−π4\beta=-\frac{\pi}{4}となるので、0≤β≤π0 \le \beta \le \pi を満たしません。
n=1n=1 のとき、β=π−(π4−α2)=3π4+α2\beta = \pi - (\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) = \frac{3\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}となります。
このとき、0≤α<π20 \le \alpha < \frac{\pi}{2}より、0≤α2<π40 \le \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4} なので、3π4≤3π4+α2<π\frac{3\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} < \piとなり、0≤β≤π0 \le \beta \le \pi を満たします。
したがって、条件を満たすβ\betaは、β=π4−α2\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}とβ=3π4+α2\beta = \frac{3\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}です。

3. 最終的な答え

β=π4−α2,3π4+α2\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}, \frac{3\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}

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