以下の6つの不定積分を求めます。 (1) $\int 3x^2 \sqrt{x^3+2} \, dx$ (2) $\int x \sqrt{1-x^2} \, dx$ (3) $\int \sin^2 x \cos x \, dx$ (4) $\int \frac{\tan x}{\cos^2 x} \, dx$ (5) $\int \frac{\log x}{x} \, dx$ (6) $\int x^2 e^{x^3} \, dx$

はい、承知いたしました。問題の不定積分を解きます。

1. 問題の内容

以下の6つの不定積分を求めます。

(1) $\int 3x^2 \sqrt{x^3+2} \, dx$

(2) $\int x \sqrt{1-x^2} \, dx$

(3) $\int \sin^2 x \cos x \, dx$

(4) $\int \frac{\tan x}{\cos^2 x} \, dx$

(5) $\int \frac{\log x}{x} \, dx$

(6) $\int x^2 e^{x^3} \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int 3x^2 \sqrt{x^3+2} \, dx$

$u = x^3 + 2$ と置換すると、$du = 3x^2 \, dx$ となります。

$\int \sqrt{u} \, du = \int u^{1/2} \, du = \frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{2}{3}(x^3+2)^{3/2} + C$

(2) $\int x \sqrt{1-x^2} \, dx$

$u = 1 - x^2$ と置換すると、$du = -2x \, dx$ となります。よって、$x \, dx = -\frac{1}{2} \, du$

$\int \sqrt{u} \left(-\frac{1}{2}\right) \, du = -\frac{1}{2} \int u^{1/2} \, du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = -\frac{1}{3}(1-x^2)^{3/2} + C$

(3) $\int \sin^2 x \cos x \, dx$

$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x \, dx$ となります。

$\int u^2 \, du = \frac{1}{3} u^3 + C = \frac{1}{3} \sin^3 x + C$

(4) $\int \frac{\tan x}{\cos^2 x} \, dx$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、$\frac{\tan x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^3 x}$ となります。

$u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x \, dx$ となります。

$\int \frac{-1}{u^3} \, du = - \int u^{-3} \, du = - \frac{u^{-2}}{-2} + C = \frac{1}{2u^2} + C = \frac{1}{2 \cos^2 x} + C = \frac{1}{2} \sec^2 x + C$

もしくは、$t=\tan x$ とおくと、$dt = \frac{1}{\cos^2 x}dx$ より

$\int t dt = \frac{1}{2}t^2+C = \frac{1}{2}\tan^2 x + C$

(5) $\int \frac{\log x}{x} \, dx$

$u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} \, dx$ となります。

$\int u \, du = \frac{1}{2} u^2 + C = \frac{1}{2} (\log x)^2 + C$

(6) $\int x^2 e^{x^3} \, dx$

$u = x^3$ と置換すると、$du = 3x^2 \, dx$ となります。よって、$x^2 \, dx = \frac{1}{3} \, du$

$\int e^u \left(\frac{1}{3}\right) \, du = \frac{1}{3} \int e^u \, du = \frac{1}{3} e^u + C = \frac{1}{3} e^{x^3} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}(x^3+2)^{3/2} + C$

(2) $-\frac{1}{3}(1-x^2)^{3/2} + C$

(3) $\frac{1}{3} \sin^3 x + C$

(4) $\frac{1}{2} \sec^2 x + C$ または $\frac{1}{2}\tan^2 x + C$

(5) $\frac{1}{2} (\log x)^2 + C$

(6) $\frac{1}{3} e^{x^3} + C$