与えられた定積分の値を計算します。積分は $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\tan x} dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を計算します。積分は

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\tan x} dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx$

です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{\tan x} = \cot x$ であることを利用して、積分を整理します。

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cot x dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx$

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cot x + \tan x) dx$

次に、$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ および $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることを利用して、被積分関数を書き換えます。

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{\cos x}) dx$

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\sin x \cos x} dx$

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ であることを利用して、

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin x \cos x} dx$

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)$ であることを利用して、

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\frac{1}{2} \sin(2x)} dx$

$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin(2x)} dx$

$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \csc(2x) dx$

ここで、$\int \csc(ax) dx = -\frac{1}{a} \ln |\csc(ax) + \cot(ax)| + C$ であることを利用します。

$I = 2 [-\frac{1}{2} \ln |\csc(2x) + \cot(2x)|]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

$I = - [\ln |\csc(2x) + \cot(2x)|]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

$I = - [\ln |\csc(\frac{\pi}{2}) + \cot(\frac{\pi}{2})| - \ln |\csc(0) + \cot(0)|]$

$\csc(\frac{\pi}{2}) = 1$, $\cot(\frac{\pi}{2}) = 0$ です。$\csc(0)$ と $\cot(0)$ は定義されませんが、積分範囲の近くでの振る舞いを考慮します。

$\lim_{x \to 0} \csc(x) = \infty$ および $\lim_{x \to 0} \cot(x) = \infty$ であるため、直接代入することはできません。

$I = - \ln |1 + 0| + \lim_{a \to 0} \ln |\csc(2a) + \cot(2a)|$

$I = - \ln 1 + \lim_{a \to 0} \ln |\frac{1}{\sin(2a)} + \frac{\cos(2a)}{\sin(2a)}|$

$I = 0 + \lim_{a \to 0} \ln |\frac{1 + \cos(2a)}{\sin(2a)}|$

$\lim_{a \to 0} \ln |\frac{1 + \cos(2a)}{\sin(2a)}| = \lim_{a \to 0} \ln |\frac{2 \cos^2 a}{2 \sin a \cos a}| = \lim_{a \to 0} \ln |\frac{\cos a}{\sin a}| = \lim_{a \to 0} \ln |\cot a| = \infty$

しかし、積分を直接計算すると、

$I = 2\int_0^{\pi/4} \csc(2x) dx = 2\left[-\frac{1}{2}\ln|\csc(2x) + \cot(2x)|\right]_0^{\pi/4} = -\ln|1+0| + \lim_{a\to 0}\ln|\csc(2a) + \cot(2a)|$

$= \lim_{a\to 0} \ln\left|\frac{1+\cos(2a)}{\sin(2a)}\right| = \lim_{a\to 0} \ln\left|\frac{2\cos^2 a}{2\sin a \cos a}\right| = \lim_{a\to 0} \ln\left|\cot a\right| = \infty$.

ただし、$2\int \csc(2x) dx = -\ln|\tan x|$でもあるので、

$I = [-\ln|\tan x|]_0^{\pi/4} = -\ln(1) + \lim_{x\to 0} \ln|\tan x| = -\infty$となる。

$I = 0$

3. 最終的な答え

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