(1) 関数 $f(x) = xe^{-x^2}$ ($-1 \le x \le 1$) について、(ア) 極値を求め、(イ) 曲線 $y=f(x)$ の変曲点を求める。 (2) 関数 $f(x) = 2\cos x - \sin 2x$ ($0 \le x \le 2\pi$) の極値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = xe^{-x^2}$ ($-1 \le x \le 1$) について、(ア) 極値を求め、(イ) 曲線 $y=f(x)$ の変曲点を求める。

(2) 関数 $f(x) = 2\cos x - \sin 2x$ ($0 \le x \le 2\pi$) の極値を求める。

2. 解き方の手順

(1) (ア) 極値を求める。

まず、$f(x) = xe^{-x^2}$ を微分する。

$f'(x) = e^{-x^2} + x(-2x)e^{-x^2} = e^{-x^2}(1 - 2x^2)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$e^{-x^2} > 0$ なので、$1 - 2x^2 = 0$

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$-1 \le x \le 1$ の範囲で、$f'(x)$ の符号を調べる。

$x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$f'(x) < 0$

$-\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$f'(x) > 0$

$x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$f'(x) < 0$

したがって、$x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ で極小値、 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ で極大値をとる。

$f(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2e^{\frac{1}{2}}} = -\frac{\sqrt{2e}}{2e}$

$f(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2e^{\frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{2e}}{2e}$

また、$f(-1) = -e^{-1} = -\frac{1}{e}$、$f(1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$

(1) (イ) 変曲点を求める。

$f'(x) = e^{-x^2}(1 - 2x^2)$ をさらに微分する。

$f''(x) = -2xe^{-x^2}(1 - 2x^2) + e^{-x^2}(-4x) = e^{-x^2}(-2x + 4x^3 - 4x) = e^{-x^2}(4x^3 - 6x) = 2xe^{-x^2}(2x^2 - 3)$

$f''(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$2xe^{-x^2}(2x^2 - 3) = 0$

$x = 0$ または $2x^2 - 3 = 0$

$x = 0$ または $x^2 = \frac{3}{2}$

$x = 0$ または $x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

$-1 \le x \le 1$ の範囲では、$x=0$ のみ。

$x=0$ の前後で、$f''(x)$ の符号が変化することを確認する。

$x < 0$ のとき、$f''(x) > 0$

$x > 0$ のとき、$f''(x) < 0$

したがって、$x = 0$ は変曲点である。

$f(0) = 0$

(2) 極値を求める。

$f(x) = 2\cos x - \sin 2x = 2\cos x - 2\sin x \cos x = 2\cos x(1 - \sin x)$

$f'(x) = -2\sin x - 2\cos 2x = -2\sin x - 2(1 - 2\sin^2 x) = -2\sin x - 2 + 4\sin^2 x = 4\sin^2 x - 2\sin x - 2 = 2(2\sin^2 x - \sin x - 1) = 2(2\sin x + 1)(\sin x - 1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$2(2\sin x + 1)(\sin x - 1) = 0$

$\sin x = -\frac{1}{2}$ または $\sin x = 1$

$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、

$\sin x = -\frac{1}{2}$ のとき、$x = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$

$\sin x = 1$ のとき、$x = \frac{1}{2}\pi$

$f''(x) = -2\cos x + 4\sin 2x$

$f''(\frac{\pi}{2}) = -2\cos(\frac{\pi}{2}) + 4\sin(\pi) = 0$

この場合は符号を調べる必要がある

$f'(\frac{\pi}{2} - \epsilon) = 2(2\sin(\frac{\pi}{2}-\epsilon) + 1)(\sin(\frac{\pi}{2} - \epsilon) - 1) \approx 2(2(1-\frac{\epsilon^2}{2})+1)(1-\frac{\epsilon^2}{2} - 1) \approx 2(3)(-\frac{\epsilon^2}{2}) < 0$

$f'(\frac{\pi}{2} + \epsilon) = 2(2\sin(\frac{\pi}{2}+\epsilon) + 1)(\sin(\frac{\pi}{2} + \epsilon) - 1) \approx 2(2(1-\frac{\epsilon^2}{2})+1)(1-\frac{\epsilon^2}{2} - 1) \approx 2(3)(-\frac{\epsilon^2}{2}) < 0$

なので、極値ではない。

$f''(\frac{7\pi}{6}) = -2\cos(\frac{7\pi}{6}) + 4\sin(\frac{7\pi}{3}) = -2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 4(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} > 0$

$f''(\frac{11\pi}{6}) = -2\cos(\frac{11\pi}{6}) + 4\sin(\frac{11\pi}{3}) = -2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 4(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = -3\sqrt{3} < 0$

$x = \frac{7\pi}{6}$ で極小値 $f(\frac{7\pi}{6}) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{11\pi}{6}$ で極大値 $f(\frac{11\pi}{6}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{\pi}{2}$ で $f(\frac{\pi}{2}) = 0$

$f(0) = 2\cos 0 - \sin 0 = 2$

$f(2\pi) = 2\cos 2\pi - \sin 4\pi = 2$

3. 最終的な答え

(1) (ア) 極大値: $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ で $\frac{\sqrt{2e}}{2e}$, 極小値: $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ で $-\frac{\sqrt{2e}}{2e}$

(1) (イ) 変曲点: $(0, 0)$

(2) 極大値: $x = \frac{11\pi}{6}$ で $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $x = 0, 2\pi$ で $2$, 極小値: $x = \frac{7\pi}{6}$ で $-\frac{\sqrt{3}}{2}$