3次関数 $y = x^3 + 1$ のグラフと、$x$軸、および直線 $x = 2$ で囲まれた部分（図の斜線部分）の面積を求めます。

1. 問題の内容

3次関数 $y = x^3 + 1$ のグラフと、$x$軸、および直線 $x = 2$ で囲まれた部分（図の斜線部分）の面積を求めます。

2. 解き方の手順

求める面積は、$y = x^3 + 1$ のグラフと $x$軸と直線 $x=2$ で囲まれた部分の面積なので、積分を使って計算します。

$x$ の積分範囲は $0$ から $2$ です。

$y = x^3 + 1$ は $x^3$ に $1$ を足しているので、$x$軸より上側に存在します。

面積 $S$ は以下のように計算できます。

$S = \int_0^2 (x^3 + 1) dx$

積分を実行します。

$S = \left[ \frac{1}{4} x^4 + x \right]_0^2$

$S = \left( \frac{1}{4} (2)^4 + 2 \right) - \left( \frac{1}{4} (0)^4 + 0 \right)$

$S = \frac{1}{4} \cdot 16 + 2$

$S = 4 + 2$

$S = 6$

3. 最終的な答え

6