問題は、不定積分 $ \int \frac{dx}{(5x+3)^3} $ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は、不定積分 $\int \frac{dx}{(5x+3)^3}$ を計算することです。

2. 解き方の手順

この積分は、置換積分を使って解くことができます。

$u = 5x + 3$ と置くと、$du = 5dx$ となります。したがって、$dx = \frac{1}{5}du$ です。

これを積分に代入すると、

$$\int \frac{dx}{(5x+3)^3} = \int \frac{1}{u^3} \cdot \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int u^{-3} du$$

となります。

$u^{-3}$ の積分は、

$$\int u^{-3} du = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2u^2} + C$$

したがって、

$$\frac{1}{5} \int u^{-3} du = \frac{1}{5} \left( -\frac{1}{2u^2} \right) + C = -\frac{1}{10u^2} + C$$

最後に、$u = 5x + 3$ を代入すると、

$$-\frac{1}{10(5x+3)^2} + C$$

となります。

3. 最終的な答え

$$-\frac{1}{10(5x+3)^2} + C$$