$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \dots + \frac{1}{2n}\right)$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \dots + \frac{1}{2n}\right)$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

この極限はリーマン和の形に変形することで計算できます。

まず、和を $\Sigma$ で表します。

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}$$

次に、この式を $\frac{1}{n}$ でくくり出します。

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}$$

この式は、関数 $f(x) = \frac{1}{1+x}$ を区間 $[0, 1]$ で積分したリーマン和と見なせます。

したがって、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} = \int_0^1 \frac{1}{1+x} dx$$

積分を実行します。

$$\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx = [\ln(1+x)]_0^1 = \ln(1+1) - \ln(1+0) = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2$$

3. 最終的な答え

$\ln 2$