関数 $f(x) = |x-1| - |2x-5|$ が与えられています。 (1) $y = f(x)$ のグラフを描いてください。 (2) $a$ を正の定数とします。 $0 \le x \le a$ における $f(x)$ の最大値 $M(a)$ を $a$ を用いて表してください。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |x-1| - |2x-5|$ が与えられています。

(1) $y = f(x)$ のグラフを描いてください。

(2) $a$ を正の定数とします。 $0 \le x \le a$ における $f(x)$ の最大値 $M(a)$ を $a$ を用いて表してください。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = |x-1| - |2x-5|$ のグラフを描きます。

絶対値を外すために場合分けをします。

(i) $x < 1$ のとき、 $x-1 < 0$ かつ $2x-5 < 0$ であるから、

$f(x) = -(x-1) - (-(2x-5)) = -x+1 + 2x - 5 = x - 4$

(ii) $1 \le x < \frac{5}{2}$ のとき、$x-1 \ge 0$ かつ $2x-5 < 0$ であるから、

$f(x) = (x-1) - (-(2x-5)) = x-1 + 2x - 5 = 3x - 6$

(iii) $x \ge \frac{5}{2}$ のとき、$x-1 > 0$ かつ $2x-5 \ge 0$ であるから、

$f(x) = (x-1) - (2x-5) = x-1 - 2x + 5 = -x + 4$

したがって、$f(x)$ は次のように表されます。

$f(x) = \begin{cases}

x - 4 & (x < 1) \\

3x - 6 & (1 \le x < \frac{5}{2}) \\

-x + 4 & (x \ge \frac{5}{2})

\end{cases}$

(2) $0 \le x \le a$ における $f(x)$ の最大値 $M(a)$ を $a$ を用いて表します。

$f(x)$ のグラフを考えると、以下のことが分かります。

・$f(x)$ は $x = 1$ で連続です。なぜなら、$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 - 4 = -3$ であり、$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 3(1) - 6 = -3$ なので、$f(1) = -3$ と一致するからです。

・$f(x)$ は $x = \frac{5}{2}$ で連続です。なぜなら、$\lim_{x \to (5/2)^-} f(x) = 3(\frac{5}{2}) - 6 = \frac{15}{2} - \frac{12}{2} = \frac{3}{2}$ であり、$\lim_{x \to (5/2)^+} f(x) = -\frac{5}{2} + 4 = \frac{3}{2}$ なので、$f(\frac{5}{2}) = \frac{3}{2}$ と一致するからです。

$M(a)$ は、区間 $[0, a]$ での $f(x)$ の最大値です。

(i) $0 < a < 1$ のとき： $f(x) = x - 4$ なので、区間 $[0, a]$ で $f(x)$ は増加関数です。よって、最大値は $f(a) = a - 4$ となります。

(ii) $1 \le a < \frac{5}{2}$ のとき： $1 \le x \le a$ では $f(x) = 3x - 6$ なので、区間 $[1, a]$ で $f(x)$ は増加関数です。よって、最大値は $f(a) = 3a - 6$ となります。

(iii) $a \ge \frac{5}{2}$ のとき： $x \ge \frac{5}{2}$ では $f(x) = -x + 4$ なので、$f(x)$ は減少関数です。よって、区間 $[\frac{5}{2}, a]$ で $f(x)$ は減少関数です。

ここで、$f(1) = -3$, $f(\frac{5}{2}) = \frac{3}{2}$ です。

最大値は $f(\frac{5}{2}) = \frac{3}{2}$ となります。

$M(a) = \begin{cases}

a - 4 & (0 < a < 1) \\

3a - 6 & (1 \le a < \frac{5}{2}) \\

\frac{3}{2} & (a \ge \frac{5}{2})

\end{cases}$

3. 最終的な答え

(1) グラフは省略します。上記参照。

(2) $M(a) = \begin{cases}

a - 4 & (0 < a < 1) \\

3a - 6 & (1 \le a < \frac{5}{2}) \\

\frac{3}{2} & (a \ge \frac{5}{2})

\end{cases}$