曲線 $y = 2x^2 - 1$ 上にない点 (2, 5) からこの曲線に引かれた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = 2x^2 - 1$ 上にない点 (2, 5) からこの曲線に引かれた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 接点の座標を $(t, 2t^2 - 1)$ とおく。

(2) $y = 2x^2 - 1$ を微分して、$y' = 4x$ を得る。

(3) 点 $(t, 2t^2 - 1)$ における接線の傾きは $4t$ である。

(4) 接線の方程式は $y - (2t^2 - 1) = 4t(x - t)$ と表せる。

(5) この接線が点 (2, 5) を通るので、$5 - (2t^2 - 1) = 4t(2 - t)$ が成り立つ。

(6) この式を整理して $5 - 2t^2 + 1 = 8t - 4t^2$, $2t^2 - 8t + 6 = 0$ を得る。

(7) さらに $t^2 - 4t + 3 = 0$ となる。

(8) この2次方程式を解くと、$(t - 1)(t - 3) = 0$ より $t = 1, 3$。

(9) $t = 1$ のとき、接点の座標は $(1, 2(1)^2 - 1) = (1, 1)$。接線の傾きは $4(1) = 4$。よって、接線の方程式は $y - 1 = 4(x - 1)$, つまり $y = 4x - 3$。

(10) $t = 3$ のとき、接点の座標は $(3, 2(3)^2 - 1) = (3, 17)$。接線の傾きは $4(3) = 12$。よって、接線の方程式は $y - 17 = 12(x - 3)$, つまり $y = 12x - 19$。

3. 最終的な答え

接線の方程式は $y = 4x - 3$ (接点 (1, 1)) および $y = 12x - 19$ (接点 (3, 17)) である。