問題 (3) は、次の和を計算することです。 $$\sum_{n=1}^{98} \frac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$$ 問題 (4) は、次の和を計算することです。 $$\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}(2k-1)$$

1. 問題の内容

問題 (3) は、次の和を計算することです。

$$\sum_{n=1}^{98} \frac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$$

問題 (4) は、次の和を計算することです。

$$\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}(2k-1)$$

2. 解き方の手順

問題 (3) について：

分母を有利化するために、$\sqrt{n+2} - \sqrt{n}$ を分子と分母に掛けます。すると、

$$\frac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n+2} + \sqrt{n})(\sqrt{n+2} - \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}{(n+2) - n} = \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}{2}$$

したがって、求める和は次のようになります。

$$\sum_{n=1}^{98} \frac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{98} \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}{2} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{98} (\sqrt{n+2} - \sqrt{n})$$

この和はテレスコープ和なので、次のように計算できます。

$$\frac{1}{2} [(\sqrt{3} - \sqrt{1}) + (\sqrt{4} - \sqrt{2}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{99} - \sqrt{97}) + (\sqrt{100} - \sqrt{98})]$$

$$= \frac{1}{2} [-\sqrt{1} - \sqrt{2} + \sqrt{99} + \sqrt{100}] = \frac{1}{2} [-1 - \sqrt{2} + \sqrt{99} + 10] = \frac{1}{2} [9 - \sqrt{2} + \sqrt{99}]$$

$$= \frac{1}{2} [9 - \sqrt{2} + 3\sqrt{11}]$$

問題 (4) について：

$S = \sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}(2k-1)$ と置きます。

$S = 1 + 3\cdot2 + 5\cdot2^2 + 7\cdot2^3 + \dots + (2n-1)2^{n-1}$

$2S = 1\cdot2 + 3\cdot2^2 + 5\cdot2^3 + \dots + (2n-3)2^{n-1} + (2n-1)2^n$

$S - 2S = 1 + 2\cdot2 + 2\cdot2^2 + 2\cdot2^3 + \dots + 2\cdot2^{n-1} - (2n-1)2^n$

$-S = 1 + 2(2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}) - (2n-1)2^n = 1 + 2\left(\frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1}\right) - (2n-1)2^n$

$-S = 1 + 4(2^{n-1} - 1) - (2n-1)2^n = 1 + 2^{n+1} - 4 - (2n-1)2^n = -3 + 2^{n+1} - (2n-1)2^n = -3 + 2^n(2 - (2n-1)) = -3 + 2^n(3-2n)$

$S = (2n-3)2^n + 3$

3. 最終的な答え

問題 (3) の答え: $\frac{1}{2} (9 - \sqrt{2} + 3\sqrt{11})$

問題 (4) の答え: $(2n-3)2^n + 3$