座標平面上の曲線 $C: y = |x^2 - 5x + 4|$ がある。$C$ の $1 < x < 4$ の部分における接線のうち、原点を通るものを $l$ とする。 (1) $l$ の方程式を求めよ。 (2) $C$ と $l$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

座標平面上の曲線 $C: y = |x^2 - 5x + 4|$ がある。$C$ の $1 < x < 4$ の部分における接線のうち、原点を通るものを $l$ とする。

(1) $l$ の方程式を求めよ。

(2) $C$ と $l$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = |x^2 - 5x + 4|$ の絶対値を外すことを考えます。$x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$ であるため、$1 \le x \le 4$ で $x^2 - 5x + 4 \le 0$、それ以外では $x^2 - 5x + 4 \ge 0$ となります。したがって、$1 < x < 4$ において、$y = -x^2 + 5x - 4$ となります。

次に、$y = -x^2 + 5x - 4$ 上の点 $(t, -t^2 + 5t - 4)$ における接線を求めます。$y' = -2x + 5$ なので、接線の方程式は、

$y - (-t^2 + 5t - 4) = (-2t + 5)(x - t)$

$y = (-2t + 5)x - t^2 + 4$

これが原点を通るので、$0 = -t^2 + 4$。つまり、$t = \pm 2$ となります。$1 < x < 4$ の範囲で考えているため、$t = 2$ のみが適切です。

したがって、接線 $l$ の方程式は、$y = (-2(2) + 5)x = x$ となります。

(2)

$C$ と $l$ で囲まれた部分の面積を求めます。積分範囲は $1 < x < 4$ で、$C$ は $y = -x^2 + 5x - 4$、$l$ は $y = x$ です。囲まれた部分の面積は、

$\int_1^4 |(-x^2 + 5x - 4) - x| dx = \int_1^4 |-x^2 + 4x - 4| dx = \int_1^4 |-(x-2)^2| dx = \int_1^4 (x-2)^2 dx$

となります。

$\int_1^4 (x-2)^2 dx = \int_1^4 (x^2 - 4x + 4) dx = [\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x]_1^4 = (\frac{64}{3} - 32 + 16) - (\frac{1}{3} - 2 + 4) = \frac{63}{3} - 16 + 2 - 2 = 21 - 16 = \frac{64 - 96 + 48}{3} - \frac{1-6+12}{3} = \frac{16}{3} - \frac{7}{3} = \frac{16-7}{3} = \frac{9}{3}=21 - \frac{7}{3} = 5$

$\int_1^4 (x-2)^2 dx = [\frac{(x-2)^3}{3}]_1^4 = \frac{(4-2)^3}{3} - \frac{(1-2)^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{-1}{3} = \frac{9}{3} = 3$

3. 最終的な答え

(1) $l: y = x$

(2) $3$