$f(x) = \frac{x^2 + ax}{e^x}$ が与えられ、$f'(0) = 2$ を満たすとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$f(x) = \frac{x^2 + ax}{e^x}$ が与えられ、$f'(0) = 2$ を満たすとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。$f(x)$ は商の形なので、商の微分公式を用いる。

商の微分公式は、$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ である。ここで、$u = x^2 + ax$、$v = e^x$ とすると、

$u' = 2x + a$、$v' = e^x$ となる。したがって、

$f'(x) = \frac{(2x+a)e^x - (x^2+ax)e^x}{(e^x)^2}$

$f'(x) = \frac{e^x(2x+a-x^2-ax)}{e^{2x}}$

$f'(x) = \frac{-x^2+(2-a)x+a}{e^x}$

$f'(0) = 2$ より、$f'(0) = \frac{-0^2 + (2-a)\cdot 0 + a}{e^0} = \frac{a}{1} = a$ である。

したがって、$a = 2$ となる。

3. 最終的な答え

a = 2