$xy$ 平面上の領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le \pi, x \ge 0, y \ge 0\}$ に対して、極座標変換 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ を行う。このとき、$r\theta$ 平面上の領域を $R$ とする。領域 $D$ 上の二重積分 $I = \iint_D x^2 \sin(x^2 + y^2) dxdy$ と $J = \iint_D y^2 \sin(x^2 + y^2) dxdy$ について、以下の問いに答える。 (1) $r\theta$ 平面上に領域 $R$ を図示せよ。 (2) ヤコビアン $\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} = \frac{\partial x}{\partial r}\frac{\partial y}{\partial \theta} - \frac{\partial x}{\partial \theta}\frac{\partial y}{\partial r}$ を $r$ の式で表せ。 (3) 極座標変換を用いて、$I = J$ を示せ。 (4) $I + J = \frac{\pi}{2} \int_0^{\sqrt{\pi}} r^3 \sin(r^2) dr$ を示し、$I + J$ の値を求めよ。 (5) $I$ と $J$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$ 平面上の領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le \pi, x \ge 0, y \ge 0\}$ に対して、極座標変換 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ を行う。このとき、$r\theta$ 平面上の領域を $R$ とする。領域 $D$ 上の二重積分 $I = \iint_D x^2 \sin(x^2 + y^2) dxdy$ と $J = \iint_D y^2 \sin(x^2 + y^2) dxdy$ について、以下の問いに答える。

(1) $r\theta$ 平面上に領域 $R$ を図示せよ。

(2) ヤコビアン $\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} = \frac{\partial x}{\partial r}\frac{\partial y}{\partial \theta} - \frac{\partial x}{\partial \theta}\frac{\partial y}{\partial r}$ を $r$ の式で表せ。

(3) 極座標変換を用いて、$I = J$ を示せ。

(4) $I + J = \frac{\pi}{2} \int_0^{\sqrt{\pi}} r^3 \sin(r^2) dr$ を示し、$I + J$ の値を求めよ。

(5) $I$ と $J$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 領域 $D$ は、中心が原点、半径が $\sqrt{\pi}$ の円の第一象限の部分である。極座標変換 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ を行うと、

$x^2 + y^2 = r^2 \le \pi$ より $0 \le r \le \sqrt{\pi}$。

$x \ge 0, y \ge 0$ より $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$。

よって、$R = \{(r, \theta) | 0 \le r \le \sqrt{\pi}, 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\}$ となる。これは、$r\theta$ 平面上の長方形である。

(2) ヤコビアンを計算する。

$\frac{\partial x}{\partial r} = \cos\theta, \frac{\partial x}{\partial \theta} = -r\sin\theta, \frac{\partial y}{\partial r} = \sin\theta, \frac{\partial y}{\partial \theta} = r\cos\theta$

$\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} = (\cos\theta)(r\cos\theta) - (-r\sin\theta)(\sin\theta) = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r$

(3) 極座標変換を行うと、$dxdy = rdrd\theta, x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, x^2 + y^2 = r^2$ であるから、

$I = \iint_R (r\cos\theta)^2 \sin(r^2) rdrd\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\sqrt{\pi}} r^3 \cos^2\theta \sin(r^2) drd\theta$

$J = \iint_R (r\sin\theta)^2 \sin(r^2) rdrd\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\sqrt{\pi}} r^3 \sin^2\theta \sin(r^2) drd\theta$

$I - J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\sqrt{\pi}} r^3 (\cos^2\theta - \sin^2\theta) \sin(r^2) drd\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\sqrt{\pi}} r^3 \cos(2\theta) \sin(r^2) drd\theta$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(2\theta) d\theta = \left[ \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}(\sin\pi - \sin 0) = 0$

よって、$I - J = 0$ より、$I = J$ が示された。

(4)

$I + J = \iint_D (x^2 + y^2) \sin(x^2 + y^2) dxdy = \iint_R r^2 \sin(r^2) rdrd\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\sqrt{\pi}} r^3 \sin(r^2) drd\theta$

$I + J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{\sqrt{\pi}} r^3 \sin(r^2) dr = \frac{\pi}{2} \int_0^{\sqrt{\pi}} r^3 \sin(r^2) dr$

$u = r^2$ と置くと、$du = 2rdr$ より、$rdr = \frac{1}{2}du$。また、$r^2 = u$ より、$r^3dr = r^2 rdr = \frac{1}{2} u du$

$I + J = \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} \frac{1}{2} u \sin(u) du = \frac{\pi}{4} \int_0^{\pi} u \sin(u) du$

部分積分を行う。$\int u\sin(u) du = -u\cos(u) + \int \cos(u) du = -u\cos(u) + \sin(u) + C$

$I + J = \frac{\pi}{4} [-u\cos(u) + \sin(u)]_0^{\pi} = \frac{\pi}{4} [-\pi\cos(\pi) + \sin(\pi) - (0 + 0)] = \frac{\pi}{4} [-\pi(-1)] = \frac{\pi^2}{4}$

(5)

$I = J$ より、$2I = I + J = \frac{\pi^2}{4}$。よって、$I = J = \frac{\pi^2}{8}$

3. 最終的な答え

(1) 領域 $R$ は、$r\theta$ 平面上、$0 \le r \le \sqrt{\pi}, 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の長方形。

(2) ヤコビアン: $r$

(3) $I = J$

(4) $I + J = \frac{\pi}{2} \int_0^{\sqrt{\pi}} r^3 \sin(r^2) dr$。$I + J = \frac{\pi^2}{4}$

(5) $I = J = \frac{\pi^2}{8}$