曲線 $y = -x^3 + 6x^2 + 2$ の接線のうち、傾きが9であるものをすべて求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^3 + 6x^2 + 2$ の接線のうち、傾きが9であるものをすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた曲線の導関数を求めます。導関数は接線の傾きを表します。

$y = -x^3 + 6x^2 + 2$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = -3x^2 + 12x$

接線の傾きが9である点を求めるので、導関数が9に等しいという方程式を立てます。

$-3x^2 + 12x = 9$

この方程式を解きます。

$-3x^2 + 12x - 9 = 0$

両辺を-3で割ると、

$x^2 - 4x + 3 = 0$

この二次方程式を因数分解すると、

$(x - 1)(x - 3) = 0$

よって、$x = 1$ または $x = 3$ です。

それぞれの$x$の値に対する$y$の値を求めます。

$x = 1$ のとき、$y = -(1)^3 + 6(1)^2 + 2 = -1 + 6 + 2 = 7$

$x = 3$ のとき、$y = -(3)^3 + 6(3)^2 + 2 = -27 + 54 + 2 = 29$

したがって、接点の座標は$(1, 7)$と$(3, 29)$です。

接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されるので、

$(1, 7)$ における接線は、$y - 7 = 9(x - 1)$ より $y = 9x - 9 + 7$ で $y = 9x - 2$

$(3, 29)$ における接線は、$y - 29 = 9(x - 3)$ より $y = 9x - 27 + 29$ で $y = 9x + 2$

3. 最終的な答え

求める接線の方程式は、

$y = 9x - 2$ および $y = 9x + 2$

です。