関数 $f(x) = x|x-a|$ について、$a$ の値の範囲によって、関数の最大値がどのように変化するかを記述した問題です。特に、以下の範囲で最大値が与えられています。 (i) $a \le 0$ のとき、最大値 $f(1) = 1-a$ (ii) $0 < a \le 2(\sqrt{2}-1)$ のとき、最大値 $f(1) = 1-a$ (iii) $2(\sqrt{2}-1) < a \le 2$ のとき、最大値 $f(\frac{a}{2}) = \frac{a^2}{4}$ (iv) $a > 2$ のとき、最大値 $f(1) = a-1$ 問題文には、$a>0$のとき、$f(x) = x|x-a|$ を平方完成した式 $f(x) = -(x - \frac{a}{2})^2 + \frac{a^2}{4}$ と、$x^2 - ax = \frac{a^2}{4}$ を満たす $x$ の値 $x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}a$ が与えられています。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x|x-a|$ について、$a$ の値の範囲によって、関数の最大値がどのように変化するかを記述した問題です。特に、以下の範囲で最大値が与えられています。

(i) $a \le 0$ のとき、最大値 $f(1) = 1-a$

(ii) $0 < a \le 2(\sqrt{2}-1)$ のとき、最大値 $f(1) = 1-a$

(iii) $2(\sqrt{2}-1) < a \le 2$ のとき、最大値 $f(\frac{a}{2}) = \frac{a^2}{4}$

(iv) $a > 2$ のとき、最大値 $f(1) = a-1$

問題文には、$a>0$のとき、$f(x) = x|x-a|$ を平方完成した式 $f(x) = -(x - \frac{a}{2})^2 + \frac{a^2}{4}$ と、$x^2 - ax = \frac{a^2}{4}$ を満たす $x$ の値 $x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}a$ が与えられています。

2. 解き方の手順

この問題は、与えられた $a$ の範囲における $f(x)$ の最大値を求めるものです。既に答えが与えられているので、ここではそれぞれの範囲でなぜその最大値になるのかを考察します。

* **$a \le 0$ のとき:**

$x-a$ は常に正なので、$|x-a| = x-a$ となり、$f(x) = x(x-a) = x^2 - ax$ となります。これは下に凸な放物線であり、$x$ が大きくなるほど $f(x)$ も大きくなります。したがって、$x=1$ で最大値をとることが考えられます。$f(1) = 1^2 - a(1) = 1 - a$ となります。

* **$0 < a \le 2(\sqrt{2}-1)$ のとき:**

この範囲でも、$x=1$ で最大値をとることが与えられています。$f(1) = 1|1-a| = |1-a|$ となります。$a \le 2(\sqrt{2}-1)$ より $a \lt 2 < 1$ が必ず成り立つわけではないので場合分けが必要です。

$a \lt 1$ の場合、$1-a>0$ なので、$f(1) = 1-a$となります。

$a \ge 1$ の場合、$1-a \lt 0$ なので、$f(1) = -(1-a) = a-1$となります。

$f(1) = 1-a$となるためには、$a \lt 1$ の場合のみです。

* **$2(\sqrt{2}-1) < a \le 2$ のとき:**

この範囲では、$x=\frac{a}{2}$ で最大値をとることが与えられています。

$f(\frac{a}{2}) = \frac{a}{2}|\frac{a}{2} - a| = \frac{a}{2}|-\frac{a}{2}| = \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4}$となります。

* **$a > 2$ のとき:**

この範囲では、$x=1$ で最大値をとることが与えられています。

$f(1) = 1|1-a| = |1-a|$ となります。$a > 2$ より $a > 1$なので、$1-a < 0$となり、$f(1) = -(1-a) = a-1$となります。

3. 最終的な答え

問題文に答えが与えられているため、ここでは改めてそれを記述します。

(i) $a \le 0$ のとき、最大値 $f(1) = 1-a$

(ii) $0 < a \le 2(\sqrt{2}-1)$ のとき、最大値 $f(1) = 1-a$

(iii) $2(\sqrt{2}-1) < a \le 2$ のとき、最大値 $f(\frac{a}{2}) = \frac{a^2}{4}$

(iv) $a > 2$ のとき、最大値 $f(1) = a-1$