関数 $y=x|x-a|$ ($0 \le x \le 1$) の最大値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y=x|x-a|$ ($0 \le x \le 1$) の最大値を求めます。

2. 解き方の手順

場合分けをして絶対値を外します。

(1) $x \ge a$ のとき、$y = x(x-a) = x^2 - ax$ となります。

(2) $x < a$ のとき、$y = x(a-x) = -x^2 + ax$ となります。

$0 \le a \le 1$ の場合を考えます。

(i) $a \le 0$ のとき、$0 \le x \le 1$ で $x \ge a$ なので $y = x^2 - ax$ です。

$y'=2x - a > 0$ なので、$x=1$ で最大値 $1 - a$ を取ります。

(ii) $a \ge 1$ のとき、$0 \le x \le 1$ で $x < a$ なので $y = -x^2 + ax$ です。

$y' = -2x + a$ であり、$x = a/2$ で極値を持ちます。

$y'(x) > 0$ if $0 \le x < a/2$, and $y'(x) < 0$ if $a/2 < x \le 1$.

Therefore, $y$ is increasing on $[0, a/2]$ and decreasing on $[a/2, 1]$.

$y(0) = 0$ and $y(1) = a - 1$.

$x = 1$ のときに最大値を取るわけではありません。

$x=a/2$のときに$y=(a/2)(a-a/2) = a^2/4$となります。

$y(0) = 0, y(1) = -1 + a$, so the max is $y(a/2) = a^2/4$ when $a \ge 1$.

(iii) $0 < a < 1$ のとき、

$0 \le x \le a$ のとき $y = -x^2 + ax$ であり、$x \ge a$ のとき $y = x^2 - ax$ となります。

$y = -x^2 + ax$ の最大値は $x = a/2$ で $y = a^2/4$ です。

$y = x^2 - ax$ の $x=1$ での値は $1-a$ です。

$a^2/4$ と $1-a$ の大小関係を調べます。

$a^2/4 \ge 1-a \Leftrightarrow a^2 + 4a - 4 \ge 0$

$a = \frac{-4 \pm \sqrt{16+16}}{2} = -2 \pm \sqrt{8} = -2 \pm 2\sqrt{2}$

$0< a < 1$ のとき、$a \ge -2+2\sqrt{2} \approx 0.828$ ならば $a^2/4 \ge 1-a$。

$a < -2+2\sqrt{2}$ ならば $a^2/4 < 1-a$。

$a^2/4$ と $1-a$ の大きい方が最大値となります。

$a \geq 1$の時、$a^2/4$が最大値.

$a\le 0$の時、$1-a$が最大値.

$0<a<1$の時、$1-a$または$a^2/4$のいずれか。

$1 - a$ ($a \le 0$)

$a^2/4$ ($a \ge 1$)

$1-a, a^2/4$ ($0 < a < 1$)

最大値は $1-a$ ($0 \le a \le -2 + 2\sqrt{2}$) で、$a^2/4$ ($-2 + 2\sqrt{2} \le a \le 1$)

3. 最終的な答え

$a \le 0$ のとき、最大値は $1-a$

$a \ge 1$ のとき、最大値は $a^2/4$

$0 < a < 1$ のとき、$a < -2+2\sqrt{2}$ ならば 最大値は $1-a$、$a \ge -2+2\sqrt{2}$ ならば 最大値は $a^2/4$