関数 $y = x|x-a|$ の $0 \le x \le 1$ における最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x|x-a|$ の $0 \le x \le 1$ における最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$y = x|x-a|$ を場合分けして考えます。

(1) $x \ge a$ のとき ($a \le x \le 1$)

$y = x(x-a) = x^2 - ax$

この関数は下に凸の放物線です。軸は $x = \frac{a}{2}$ です。

(2) $x < a$ のとき ($0 \le x < a$)

$y = x(a-x) = -x^2 + ax$

この関数は上に凸の放物線です。軸は $x = \frac{a}{2}$ です。

場合分けをして最大値を考えます。

(i) $a \le 0$ のとき

$0 \le x \le 1$ で常に $x-a \ge 0$ なので、 $y = x(x-a) = x^2-ax$ となります。

$y'=2x-a$ であり、$0 \le x \le 1$ で、$y' \ge 0$ なので、 $x=1$ のとき最大値 $1-a$ となります。

(ii) $0 < a < 1$ のとき

$y = x|x-a|$ を $x=a$ で場合分けして考えます。

$0 \le x \le a$ では $y=x(a-x) = -x^2+ax$ となり、$a \le x \le 1$ では $y=x(x-a) = x^2-ax$ となります。

$0 \le x \le a$ では、 $x=a/2$ で最大値 $y = -(\frac{a}{2})^2 + a(\frac{a}{2}) = \frac{a^2}{4}$ となります。

$a \le x \le 1$ では、$x=1$ で最大値 $y = 1-a$ となります。

$\frac{a^2}{4}$ と $1-a$ の大小を比較します。

$\frac{a^2}{4} > 1-a$ となるのは $a^2 + 4a - 4 > 0$ のときです。

$a = \frac{-4 \pm \sqrt{16+16}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}$

$0<a<1$ より、 $a = -2+2\sqrt{2}$ となります。

$a > -2+2\sqrt{2}$ のとき $\frac{a^2}{4} > 1-a$ となり、

$a \le -2+2\sqrt{2}$ のとき $\frac{a^2}{4} \le 1-a$ となります。

したがって、$0 < a \le -2+2\sqrt{2}$ のとき、最大値は $1-a$ であり、$-2+2\sqrt{2} < a < 1$ のとき、最大値は $\frac{a^2}{4}$ となります。

(iii) $a \ge 1$ のとき

$0 \le x \le 1$ で常に $x-a \le 0$ なので、$y = x(a-x) = -x^2+ax$ となります。

$y' = -2x+a$ であり、$y' \ge 0$ なので、$x=1$ で最大値 $a-1$ となります。

以上より、

$a \le 0$ のとき、最大値は $1-a$

$0 < a \le -2+2\sqrt{2}$ のとき、最大値は $1-a$

$-2+2\sqrt{2} < a < 1$ のとき、最大値は $\frac{a^2}{4}$

$a \ge 1$ のとき、最大値は $a-1$

これをまとめて、$a \le -2 + 2\sqrt{2}$ のとき最大値 $1-a$、 $-2 + 2\sqrt{2} < a < 1$ のとき最大値 $\frac{a^2}{4}$、$a \ge 1$ のとき最大値 $a-1$

3. 最終的な答え

$a \le -2 + 2\sqrt{2}$ のとき、最大値は $1-a$

$-2 + 2\sqrt{2} < a < 1$ のとき、最大値は $\frac{a^2}{4}$

$a \ge 1$ のとき、最大値は $a-1$