曲線 $y = x^3 - x$ 上の点 $(1, -1)$ から引かれた接線の方程式と接点の座標を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - x$ 上の点 $(1, -1)$ から引かれた接線の方程式と接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 接点の座標を $(t, t^3 - t)$ とおく。

(2) $y = x^3 - x$ を微分すると $y' = 3x^2 - 1$ となる。

(3) よって、接線の方程式は $y - (t^3 - t) = (3t^2 - 1)(x - t)$ となる。

(4) この接線が点 $(1, -1)$ を通るので、$-1 - (t^3 - t) = (3t^2 - 1)(1 - t)$ が成り立つ。

(5) これを整理すると、$-1 - t^3 + t = 3t^2 - 1 - 3t^3 + t$ となり、$2t^3 - 3t^2 = 0$ となる。

(6) よって、$t^2(2t - 3) = 0$ となるので、$t = 0$ または $t = \frac{3}{2}$ となる。

(7) $t = 0$ のとき、接点の座標は $(0, 0)$ となり、接線の傾きは $3(0)^2 - 1 = -1$ となる。よって、接線の方程式は $y - 0 = -1(x - 0)$ すなわち $y = -x$ となる。

(8) $t = \frac{3}{2}$ のとき、接点の座標は $(\frac{3}{2}, (\frac{3}{2})^3 - \frac{3}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{27}{8} - \frac{12}{8}) = (\frac{3}{2}, \frac{15}{8})$ となり、接線の傾きは $3(\frac{3}{2})^2 - 1 = 3(\frac{9}{4}) - 1 = \frac{27}{4} - \frac{4}{4} = \frac{23}{4}$ となる。よって、接線の方程式は $y - \frac{15}{8} = \frac{23}{4}(x - \frac{3}{2})$ すなわち $y = \frac{23}{4}x - \frac{69}{8} + \frac{15}{8}$ となり、$y = \frac{23}{4}x - \frac{54}{8} = \frac{23}{4}x - \frac{27}{4}$ となる。

(9) 接点が $(0,0)$ のとき接線 $y = -x$ は点 $(1,-1)$ を通る。

(10) 接点が $(\frac{3}{2}, \frac{15}{8})$ のとき接線 $y = \frac{23}{4}x - \frac{27}{4}$ は点 $(1,-1)$ を通るか確認する。$x=1$ を代入すると $y = \frac{23}{4} - \frac{27}{4} = -\frac{4}{4} = -1$ となるので、点 $(1,-1)$ を通る。

3. 最終的な答え

接線の方程式：$y = -x$, 接点の座標：$(0, 0)$

接線の方程式：$y = \frac{23}{4}x - \frac{27}{4}$, 接点の座標：$(\frac{3}{2}, \frac{15}{8})$