関数 $y = x|x-a|$ （$0 \le x \le 1$）の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x|x-a|$ （$0 \le x \le 1$）の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = x|x-a|$ とおく。

$a$ の値によって絶対値の中身の符号が変わるので、$a$ の範囲で場合分けを行う。

(i) $a \le 0$ のとき：

$0 \le x \le 1$ の範囲で $x-a \ge 0$ なので、$f(x) = x(x-a) = x^2 - ax$。

このとき、$f'(x) = 2x - a$。$a \le 0$ より、$f'(x) \ge 0$ なので、$f(x)$ は単調増加。

したがって、最大値は $f(1) = 1-a$。

(ii) $0 < a \le 2(\sqrt{2} - 1)$ のとき：

$0 \le x \le 1$ の範囲で、関数は場合分けが必要。

$f(x) = \begin{cases} -x(x-a) = -x^2 + ax & (0 \le x < a) \\ x(x-a) = x^2 - ax & (a \le x \le 1) \end{cases}$

$x < a$ において、$f(x) = -x^2 + ax = -(x - \frac{a}{2})^2 + \frac{a^2}{4}$ となる。

$x \ge a$ において、$f(x) = x^2 - ax = (x - \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4}$ となる。

$f(0) = 0$、$f(a) = 0$ であり、頂点の $x$ 座標は $x = \frac{a}{2}$ である。

$a > 0$ のとき、$f(x)$ は $x = \frac{a}{2}$ で極大値 $\frac{a^2}{4}$ をとる。

$f(1) = 1 - a$ と $\frac{a^2}{4}$ の大小を比較する。$f(1) > \frac{a^2}{4}$となる。

(iii) $2(\sqrt{2} - 1) < a \le 2$ のとき：

$x = \frac{a}{2}$ が区間 $[0, 1]$ に含まれるので、最大値の候補は、$x = 1$ または $x = \frac{a}{2}$。

$f(1) = 1 - a$ であり、$f(\frac{a}{2}) = -(\frac{a}{2})^2 + a\cdot\frac{a}{2} = \frac{a^2}{4}$ である。

$a > 2(\sqrt{2}-1)$ より、$a^2 > (2(\sqrt{2}-1))^2= 4(2-2\sqrt{2}+1)= 12 - 8\sqrt{2}$

$1-a < \frac{a^2}{4}$

(iv) $a > 2$ のとき：

$f(x)$ は $x=1$ で最大値をとるので、$f(1) = 1 - a$

(i) $a \le 0$ のとき、最大値は $1-a$

(ii) $0 < a \le 2(\sqrt{2} - 1)$ のとき、最大値は $1-a$

(iii) $2(\sqrt{2} - 1) < a \le 2$ のとき、最大値は $\frac{a^2}{4}$

(iv) $a > 2$ のとき、最大値は $a-1$

3. 最終的な答え

$$

\begin{cases}

1-a & (a \le 2(\sqrt{2}-1)) \\

\frac{a^2}{4} & (2(\sqrt{2}-1) < a \le 2) \\

a-1 & (a > 2)

\end{cases}

$$