曲線 $y = x^2 + 2x + 1$ 上の点から $(1, 0)$ に引かれた接線の方程式と、その接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 + 2x + 1$ 上の点から $(1, 0)$ に引かれた接線の方程式と、その接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 曲線上の点 $(t, t^2 + 2t + 1)$ における接線を求める。

(2) 接線が点 $(1, 0)$ を通るという条件から $t$ の値を求める。

(3) 求めた $t$ の値を使い、接点の座標と接線の方程式を求める。

まず、$y = x^2 + 2x + 1$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = 2x + 2$

曲線上の点 $(t, t^2 + 2t + 1)$ における接線の傾きは $2t + 2$ です。

したがって、接線の方程式は次のようになります。

$y - (t^2 + 2t + 1) = (2t + 2)(x - t)$

この接線が点 $(1, 0)$ を通るので、 $x = 1$、 $y = 0$ を代入します。

$0 - (t^2 + 2t + 1) = (2t + 2)(1 - t)$

$-t^2 - 2t - 1 = 2t + 2 - 2t^2 - 2t$

$-t^2 - 2t - 1 = 2 - 2t^2$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

$(t - 3)(t + 1) = 0$

よって、$t = 3$ または $t = -1$。

$t = 3$ のとき、接点の座標は $(3, 3^2 + 2 \cdot 3 + 1) = (3, 16)$。

接線の傾きは $2 \cdot 3 + 2 = 8$ なので、接線の方程式は $y - 16 = 8(x - 3)$ より $y = 8x - 8$。

$t = -1$ のとき、接点の座標は $(-1, (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 1) = (-1, 0)$。

接線の傾きは $2 \cdot (-1) + 2 = 0$ なので、接線の方程式は $y - 0 = 0(x + 1)$ より $y = 0$。

3. 最終的な答え

接線の方程式と接点の座標は以下の通りです。

接線1: $y = 8x - 8$, 接点1: $(3, 16)$

接線2: $y = 0$, 接点2: $(-1, 0)$