関数 $y = 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta - 2\sin^2\theta + 5$ の、$0 \le \theta < 2\pi$ における最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta - 2\sin^2\theta + 5$ の、$0 \le \theta < 2\pi$ における最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を三角関数の倍角の公式を用いて整理します。

$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ と $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ を使うと、

$y = \sqrt{3}(2\sin\theta\cos\theta) - 2\sin^2\theta + 5 = \sqrt{3}\sin 2\theta + (1 - \cos 2\theta) + 5 - 1 = \sqrt{3}\sin 2\theta + 1 - \cos 2\theta + 4 = \sqrt{3}\sin 2\theta - \cos 2\theta + 5$

次に、三角関数の合成を行います。

$y = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} \sin(2\theta + \alpha) + 5 = \sqrt{3+1}\sin(2\theta + \alpha) + 5 = 2\sin(2\theta + \alpha) + 5$

ただし、$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin\alpha = -\frac{1}{2}$なので、$\alpha = -\frac{\pi}{6}$です。

したがって、$y = 2\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) + 5$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{6} \le 2\theta - \frac{\pi}{6} < 4\pi - \frac{\pi}{6}$

$\sin$関数の最大値は1なので、$y$の最大値は$2(1) + 5 = 7$です。

3. 最終的な答え

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