$x = t - \sin t$, $y = 1 - \cos t$ で与えられたとき、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ をそれぞれ $t$ の関数として表せ。

1. 問題の内容

$x = t - \sin t$, $y = 1 - \cos t$ で与えられたとき、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ をそれぞれ $t$ の関数として表せ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{dy}{dx}$ を求める。

$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算する。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t - \sin t) = 1 - \cos t$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(1 - \cos t) = \sin t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}$

ここで、半角の公式を使う。

$\sin t = 2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}$

$1 - \cos t = 2 \sin^2 \frac{t}{2}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{2 \sin^2 \frac{t}{2}} = \frac{\cos \frac{t}{2}}{\sin \frac{t}{2}} = \cot \frac{t}{2}$

次に、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dx} \left(\cot \frac{t}{2}\right)$

$\frac{d}{dx} \left(\cot \frac{t}{2}\right) = \frac{d}{dt} \left(\cot \frac{t}{2}\right) \cdot \frac{dt}{dx}$

$\frac{d}{dt} \left(\cot \frac{t}{2}\right) = -\frac{1}{2 \sin^2 \frac{t}{2}}$

$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{1 - \cos t} = \frac{1}{2 \sin^2 \frac{t}{2}}$

したがって、

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{2 \sin^2 \frac{t}{2}} \cdot \frac{1}{2 \sin^2 \frac{t}{2}} = -\frac{1}{4 \sin^4 \frac{t}{2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \cot \frac{t}{2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{4 \sin^4 \frac{t}{2}}$