$a, b$ は実数で、関数 $f(x) = ax + b$ は、$f(0) \le 0 \le f(1)$、$\int_0^1 |f(x)| dx = 1$ を満たします。 このとき、次の式の最大値と最小値を求めます。 (1) $\int_0^1 (x-\frac{1}{2})f(x) dx$ (2) $|\int_0^{\frac{3}{4}} xf(x) dx|$

1. 問題の内容

$a, b$ は実数で、関数 $f(x) = ax + b$ は、$f(0) \le 0 \le f(1)$、$\int_0^1 |f(x)| dx = 1$ を満たします。

このとき、次の式の最大値と最小値を求めます。

(1) $\int_0^1 (x-\frac{1}{2})f(x) dx$

(2) $|\int_0^{\frac{3}{4}} xf(x) dx|$

2. 解き方の手順

(1)

$I = \int_0^1 (x - \frac{1}{2})f(x) dx = \int_0^1 xf(x) dx - \frac{1}{2} \int_0^1 f(x) dx$

ここで、$\int_0^1 f(x) dx$ を求めます。$\int_0^1 |f(x)| dx = 1$ なので、$f(x)$ の符号によって場合分けが必要です。

条件 $f(0) \le 0 \le f(1)$ より、$b \le 0$ かつ $a+b \ge 0$ が成り立ちます。

(i) $f(x) \ge 0$ (つまり、$a \ge 0$ かつ $b=0$)のとき、

$\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 (ax) dx = [\frac{ax^2}{2}]_0^1 = \frac{a}{2} = 1$ より $a=2$ 。

このとき $f(x) = 2x$ なので、$I = \int_0^1 (x - \frac{1}{2})2x dx = \int_0^1 (2x^2 - x) dx = [\frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2}]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

(ii) $f(x) \le 0$ (つまり、$a \le 0$ かつ $b=0$) のとき、$f(0) = b \le 0 \le a+b = f(1)$ を満たせないので、これはありえない。

(iii) $f(x)$ が途中で符号を変える場合、$x_0 = -\frac{b}{a}$ で $f(x_0) = 0$ となる。

$f(0) \le 0$ かつ $f(1) \ge 0$ より、$0 \le x_0 \le 1$ である。よって $f(x) < 0$ ($0 \le x < x_0$) 、$f(x) > 0$ ($x_0 < x \le 1$) となる。

このとき、$\int_0^1 |f(x)| dx = -\int_0^{x_0} (ax + b) dx + \int_{x_0}^1 (ax + b) dx = 1$

$-\int_0^{x_0} (ax + b) dx = -[\frac{ax^2}{2} + bx]_0^{x_0} = -\frac{ax_0^2}{2} - bx_0 = -\frac{a}{2}(\frac{b^2}{a^2}) + \frac{b^2}{a} = \frac{b^2}{2a}$

$\int_{x_0}^1 (ax + b) dx = [\frac{ax^2}{2} + bx]_{x_0}^1 = (\frac{a}{2} + b) - (\frac{ax_0^2}{2} + bx_0) = \frac{a}{2} + b - \frac{b^2}{2a} + \frac{b^2}{a} = \frac{a}{2} + b + \frac{b^2}{2a}$

$\int_0^1 |f(x)| dx = \frac{b^2}{2a} + (\frac{a}{2} + b + \frac{b^2}{2a}) = \frac{a}{2} + b + \frac{b^2}{a} = 1$

よって、$a^2 + 2ab + 2b^2 = 2a$

$a(a+2b-2) = -2b^2$

$a = \frac{-2b^2}{a+2b-2}$

$\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 (ax + b) dx = [\frac{ax^2}{2} + bx]_0^1 = \frac{a}{2} + b$

$I = \int_0^1 x(ax + b) dx - \frac{1}{2}(\frac{a}{2} + b) = \int_0^1 (ax^2 + bx) dx - \frac{a}{4} - \frac{b}{2} = [\frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2}]_0^1 - \frac{a}{4} - \frac{b}{2} = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} - \frac{a}{4} - \frac{b}{2} = \frac{a}{12}$

$I = \frac{a}{12}$

$\frac{a}{2} + b + \frac{b^2}{a} = 1$ より、 $f(0) = b \le 0 \le a+b = f(1)$を満たしつつ、$I = \frac{a}{12}$ が最大最小となるような $a$ を見つけます。

$b = 0$ のとき、$a = 2$ なので $I = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

$a > 0$ なので、$I = \frac{a}{12} > 0$.

(2)

3. 最終的な答え

(1)

最大値: 1/6

最小値: 1/6

(2)

計算中