関数 $y = -\sqrt{3x+1}$ の定義域と値域を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -\sqrt{3x+1}$ の定義域と値域を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 定義域を求める

根号の中身は0以上でなければならないので、$3x+1 \geq 0$ を満たす必要があります。

$3x+1 \geq 0$

$3x \geq -1$

$x \geq -\frac{1}{3}$

したがって、定義域は $x \geq -\frac{1}{3}$ です。

(2) 値域を求める

$x \geq -\frac{1}{3}$ のとき、$3x+1 \geq 0$ なので、$\sqrt{3x+1} \geq 0$ となります。

したがって、$y = -\sqrt{3x+1} \leq 0$ となります。

定義域の最小値 $x = -\frac{1}{3}$ のとき、$y = -\sqrt{3(-\frac{1}{3})+1} = -\sqrt{-1+1} = -\sqrt{0} = 0$ となります。

$x$ が増加すると、$3x+1$ も増加し、$\sqrt{3x+1}$ も増加します。したがって、$y = -\sqrt{3x+1}$ は減少します。

$x$ が限りなく大きくなると、$y$ は限りなく小さくなるので、$y$ の値はどこまでも小さくなります。

したがって、値域は $y \leq 0$ です。

(3) 答えの選択肢を確認する

定義域が $x \geq -\frac{1}{3}$ 、値域が $y \leq 0$ となる選択肢は3です。

3. 最終的な答え

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