放物線 $y = x^2 - x + 3$ (①) と $y = x^2 - 5x + 11$ (②) が与えられている。 (1) ①と②の交点の座標を求める。 (2) 直線 $y = mx + n$ (③) が①と②の両方に接するとき、$m$と$n$の値を求める。 (3) ①, ②, ③で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - x + 3$ (①) と $y = x^2 - 5x + 11$ (②) が与えられている。

(1) ①と②の交点の座標を求める。

(2) 直線 $y = mx + n$ (③) が①と②の両方に接するとき、$m$と$n$の値を求める。

(3) ①, ②, ③で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) ①と②の交点を求めるには、2つの式を連立させて解く。

$x^2 - x + 3 = x^2 - 5x + 11$

$-x + 3 = -5x + 11$

$4x = 8$

$x = 2$

$x = 2$ を ① に代入すると、$y = 2^2 - 2 + 3 = 4 - 2 + 3 = 5$

したがって、交点の座標は $(2, 5)$ である。

(2) 直線③が①に接するための条件は、

$x^2 - x + 3 = mx + n$

$x^2 - (1+m)x + (3-n) = 0$

この2次方程式の判別式を $D_1$ とすると、$D_1 = 0$ である。

$D_1 = (1+m)^2 - 4(3-n) = 1 + 2m + m^2 - 12 + 4n = m^2 + 2m + 4n - 11 = 0$

直線③が②に接するための条件は、

$x^2 - 5x + 11 = mx + n$

$x^2 - (5+m)x + (11-n) = 0$

この2次方程式の判別式を $D_2$ とすると、$D_2 = 0$ である。

$D_2 = (5+m)^2 - 4(11-n) = 25 + 10m + m^2 - 44 + 4n = m^2 + 10m + 4n - 19 = 0$

$D_1 = 0$ と $D_2 = 0$ より、

$m^2 + 2m + 4n - 11 = 0$

$m^2 + 10m + 4n - 19 = 0$

2つの式を引き算すると、

$-8m + 8 = 0$

$m = 1$

$m = 1$ を $m^2 + 2m + 4n - 11 = 0$ に代入すると、

$1 + 2 + 4n - 11 = 0$

$4n = 8$

$n = 2$

したがって、$m = 1$ , $n = 2$ である。

(3) ①, ②, ③ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

$y = x^2 - x + 3$ (①), $y = x^2 - 5x + 11$ (②), $y = x + 2$ (③)

① と ③ の交点を求める。

$x^2 - x + 3 = x + 2$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$

$x = 1$ のとき $y = 1 + 2 = 3$ なので、交点は $(1, 3)$ である。

② と ③ の交点を求める。

$x^2 - 5x + 11 = x + 2$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

$x = 3$

$x = 3$ のとき $y = 3 + 2 = 5$ なので、交点は $(3, 5)$ である。

交点の $x$ 座標は $1$ と $3$ である。

また、①と②の交点の $x$ 座標は $2$ である。

$1 \le x \le 2$ のとき、③ は ① より上にある。

$2 \le x \le 3$ のとき、③ は ② より上にある。

$S = \int_1^2 [(x+2) - (x^2 - x + 3)] dx + \int_2^3 [(x+2) - (x^2 - 5x + 11)] dx$

$S = \int_1^2 (-x^2 + 2x - 1) dx + \int_2^3 (-x^2 + 6x - 9) dx$

$S = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 - x \right]_1^2 + \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 9x \right]_2^3$

$S = \left[ \left( -\frac{8}{3} + 4 - 2 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 1 - 1 \right) \right] + \left[ \left( -\frac{27}{3} + 27 - 27 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 12 - 18 \right) \right]$

$S = \left[ -\frac{8}{3} + 2 + \frac{1}{3} \right] + \left[ -9 - \left( -\frac{8}{3} - 6 \right) \right]$

$S = \left[ -\frac{7}{3} + 2 \right] + \left[ -9 + \frac{8}{3} + 6 \right]$

$S = -\frac{1}{3} -3 + \frac{8}{3} = \frac{7}{3} - 3 = -\frac{2}{3}$

面積なので正の値をとる。$S = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) (2, 5)

(2) m = 1, n = 2

(3) $\frac{2}{3}$