関数 $y = \tan{x}$ ($-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$) の逆関数を $f(x)$ とするとき、導関数 $f'(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \tan{x}$ ($-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$) の逆関数を $f(x)$ とするとき、導関数 $f'(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$y = \tan{x}$ の逆関数を $f(x)$ とするので、$x = f(y)$ となる。

$y = \tan{x}$ を $x$ で微分すると $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos^2{x}} = 1 + \tan^2{x} = 1 + y^2$ となる。

逆関数の微分公式 $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ を用いると、

$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{1+y^2}$ となる。

ここで、$x = f(y)$ なので、$f'(y) = \frac{1}{1+y^2}$ となる。

したがって、$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$ となる。

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$