関数 $y = \log \sqrt{\frac{\cos x}{\sin x + 1}}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log \sqrt{\frac{\cos x}{\sin x + 1}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて式を簡単にします。

$y = \log \sqrt{\frac{\cos x}{\sin x + 1}} = \log \left(\frac{\cos x}{\sin x + 1}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log \left(\frac{\cos x}{\sin x + 1}\right)$

さらに、対数の性質を用いて、

$y = \frac{1}{2} (\log (\cos x) - \log (\sin x + 1))$

次に、この式を$x$で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{d}{dx} \log (\cos x) - \frac{d}{dx} \log (\sin x + 1)\right)$

$\frac{d}{dx} \log (\cos x) = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\tan x$

$\frac{d}{dx} \log (\sin x + 1) = \frac{1}{\sin x + 1} \cdot (\cos x) = \frac{\cos x}{\sin x + 1}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(-\tan x - \frac{\cos x}{\sin x + 1}\right)$

通分すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(-\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x + 1}\right) = \frac{1}{2} \left(-\frac{\sin x (\sin x + 1) + \cos^2 x}{\cos x (\sin x + 1)}\right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(-\frac{\sin^2 x + \sin x + \cos^2 x}{\cos x (\sin x + 1)}\right) = \frac{1}{2} \left(-\frac{1 + \sin x}{\cos x (\sin x + 1)}\right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{\cos x}\right) = -\frac{1}{2\cos x} = -\frac{1}{2} \sec x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} \sec x$