媒介変数 $t$ を用いて $x = t - \sin t$, $y = 1 - \cos t$ と表される関数について、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を $t$ の関数として表す。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて $x = t - \sin t$, $y = 1 - \cos t$ と表される関数について、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を $t$ の関数として表す。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算する。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t - \sin t) = 1 - \cos t$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(1 - \cos t) = \sin t$

次に、$\frac{dy}{dx}$ を計算する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}$

ここで、半角の公式 $\sin t = 2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}$ と $1 - \cos t = 2 \sin^2 \frac{t}{2}$ を使うと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{2 \sin^2 \frac{t}{2}} = \frac{\cos \frac{t}{2}}{\sin \frac{t}{2}} = \cot \frac{t}{2}$

次に、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を計算する。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dx} (\cot \frac{t}{2})$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt} (\cot \frac{t}{2}) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{\frac{d}{dt} (\cot \frac{t}{2})}{\frac{dx}{dt}}$

$\frac{d}{dt} (\cot \frac{t}{2}) = -\frac{1}{2 \sin^2 \frac{t}{2}}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-\frac{1}{2 \sin^2 \frac{t}{2}}}{1 - \cos t} = \frac{-\frac{1}{2 \sin^2 \frac{t}{2}}}{2 \sin^2 \frac{t}{2}} = -\frac{1}{4 \sin^4 \frac{t}{2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \cot \frac{t}{2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{4 \sin^4 \frac{t}{2}}$