与えられた関数を微分する問題です。具体的には、逆三角関数とその合成関数の微分を行います。 (1) $y = \sin^{-1} 4x$ (2) $y = \cos^{-1} \frac{x}{4}$ (3) $y = \tan^{-1} \frac{3}{4}x$ (4) $y = \sin^{-1} \frac{2}{x}$ ($x \geq 2$) (5) $y = \frac{\sin^{-1} x}{\cos^{-1} x}$ (6) $y = \sqrt{\tan^{-1} x}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、逆三角関数とその合成関数の微分を行います。

(1) $y = \sin^{-1} 4x$

(2) $y = \cos^{-1} \frac{x}{4}$

(3) $y = \tan^{-1} \frac{3}{4}x$

(4) $y = \sin^{-1} \frac{2}{x}$ ($x \geq 2$)

(5) $y = \frac{\sin^{-1} x}{\cos^{-1} x}$

(6) $y = \sqrt{\tan^{-1} x}$

2. 解き方の手順

各関数の微分を以下の手順で行います。

(1) $y = \sin^{-1} 4x$

$\sin^{-1} x$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ なので、合成関数の微分として、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (4x)^2}} \cdot 4 = \frac{4}{\sqrt{1 - 16x^2}}$

(2) $y = \cos^{-1} \frac{x}{4}$

$\cos^{-1} x$ の微分は $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ なので、合成関数の微分として、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{4})^2}} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{16}}} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{\sqrt{\frac{16 - x^2}{16}}} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{\frac{\sqrt{16 - x^2}}{4}} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{\sqrt{16 - x^2}}$

(3) $y = \tan^{-1} \frac{3}{4}x$

$\tan^{-1} x$ の微分は $\frac{1}{1 + x^2}$ なので、合成関数の微分として、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (\frac{3}{4}x)^2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{1 + \frac{9}{16}x^2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{\frac{16 + 9x^2}{16}} \cdot \frac{3}{4} = \frac{16}{16 + 9x^2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{12}{16 + 9x^2}$

(4) $y = \sin^{-1} \frac{2}{x}$

$\sin^{-1} x$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ なので、合成関数の微分として、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{2}{x})^2}} \cdot (-\frac{2}{x^2}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{4}{x^2}}} \cdot (-\frac{2}{x^2}) = \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2 - 4}{x^2}}} \cdot (-\frac{2}{x^2}) = \frac{|x|}{\sqrt{x^2 - 4}} \cdot (-\frac{2}{x^2})$

$x \geq 2$ なので $|x| = x$ より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}} \cdot (-\frac{2}{x^2}) = -\frac{2}{x\sqrt{x^2 - 4}}$

(5) $y = \frac{\sin^{-1} x}{\cos^{-1} x}$

商の微分法を使う。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = \sin^{-1} x$ なので $u' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

$v = \cos^{-1} x$ なので $v' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \cdot \cos^{-1} x - \sin^{-1} x \cdot (-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}})}{(\cos^{-1} x)^2} = \frac{\frac{\cos^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}}}{(\cos^{-1} x)^2} = \frac{\cos^{-1} x + \sin^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2} (\cos^{-1} x)^2}$

$\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1 - x^2} (\cos^{-1} x)^2} = \frac{\pi}{2\sqrt{1 - x^2} (\cos^{-1} x)^2}$

(6) $y = \sqrt{\tan^{-1} x}$

$y = (\tan^{-1} x)^{\frac{1}{2}}$

合成関数の微分として、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (\tan^{-1} x)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \frac{1}{2 \sqrt{\tan^{-1} x}} \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \frac{1}{2(1 + x^2)\sqrt{\tan^{-1} x}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{\sqrt{1 - 16x^2}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{16 - x^2}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{12}{16 + 9x^2}$

(4) $\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{x\sqrt{x^2 - 4}}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{\pi}{2\sqrt{1 - x^2} (\cos^{-1} x)^2}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(1 + x^2)\sqrt{\tan^{-1} x}}$