$\int \log(x^2+1) \, dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int \log(x^2+1) \, dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて解く。

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

ここで、$u = \log(x^2+1)$ 、$dv = dx$ とおく。すると、

$du = \frac{2x}{x^2+1} \, dx$

$v = x$

したがって、

$\int \log(x^2+1) \, dx = x\log(x^2+1) - \int \frac{2x^2}{x^2+1} \, dx$

ここで、

$\int \frac{2x^2}{x^2+1} \, dx = \int \frac{2(x^2+1) - 2}{x^2+1} \, dx = \int \left( 2 - \frac{2}{x^2+1} \right) \, dx = 2x - 2\arctan(x) + C$

したがって、

$\int \log(x^2+1) \, dx = x\log(x^2+1) - (2x - 2\arctan(x)) + C = x\log(x^2+1) - 2x + 2\arctan(x) + C$

3. 最終的な答え

$x\log(x^2+1) - 2x + 2\arctan(x) + C$