2つの曲線 $C_1: y = -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x + a$ と $C_2: y = 2\log x$ が与えられています。以下の3つの問いに答えます。 (1) $C_1$ と $C_2$ の共有点において共通接線が存在するときの、共有点の $x$ 座標を求めます。 (2) (1) の条件を満たすような $a$ の値を求めます。 (3) $a = -\frac{ウ}{エ}$ のとき、$C_1$、$C_2$、および直線 $x=2$ で囲まれる部分の面積を求めます。

はい、承知いたしました。それでは、与えられた数学の問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

2つの曲線 $C_1: y = -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x + a$ と $C_2: y = 2\log x$ が与えられています。以下の3つの問いに答えます。

(1) $C_1$ と $C_2$ の共有点において共通接線が存在するときの、共有点の $x$ 座標を求めます。

(2) (1) の条件を満たすような $a$ の値を求めます。

(3) $a = -\frac{ウ}{エ}$ のとき、$C_1$、$C_2$、および直線 $x=2$ で囲まれる部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $C_1$ と $C_2$ の共有点の $x$ 座標を $t$ とすると、以下の2つの条件が成り立ちます。

- $C_1$ と $C_2$ が共有点を持つ：$-\frac{1}{3}t^3 + t^2 + t + a = 2\log t$

- $C_1$ と $C_2$ の接線が共通：$C_1$ の導関数と $C_2$ の導関数が $x=t$ で等しい。

$C_1$ の導関数は $y' = -x^2 + 2x + 1$ なので、$-t^2 + 2t + 1 = \frac{2}{t}$

両辺に $t$ をかけて整理すると、$t^3 - 2t^2 - t + 2 = 0$

これは $(t-1)(t^2 - t - 2) = 0$ と因数分解できるので、$(t-1)(t-2)(t+1) = 0$

$t > 0$ である必要があるため、$t = 1, 2$

$t=1$ がア、$t=2$ がイであるため、ア＜イの条件より、$x=1$ または $x=2$。

(2) $x=1$のとき、

$C_1$ の式に代入すると、$y=-\frac{1}{3}+1+1+a=2+a/3$

$C_2$ の式に代入すると、$y=2\log1=0$

共通接線を持つとき、$2+a/3=0$ より、$a=-\frac{5}{3}$

$x=2$のとき、

$C_1$ の式に代入すると、$y=-\frac{8}{3}+4+2+a=6-\frac{8}{3}+a=\frac{10}{3}+a$

$C_2$ の式に代入すると、$y=2\log2$

共通接線を持つとき、$\frac{10}{3}+a=2\log2$より、$a=2\log2-\frac{10}{3}$

したがって、ウ/エ = 5/3、オ=2、カ=2、キク/ケ=10/3

(3) $a = -\frac{5}{3}$のとき、$C_1$ と $C_2$ および直線 $x=2$ で囲まれる部分の面積は、

$\int_1^2 (2\log x - (-\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x - \frac{5}{3})) dx$

$= [2x\log x - 2x + \frac{1}{12}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{3}x]_1^2$

$= (4\log 2 - 4 + \frac{16}{12} - \frac{8}{3} - 2 + \frac{10}{3}) - (0 - 2 + \frac{1}{12} - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{5}{3})$

$= 4\log 2 - 6 + \frac{4}{3} - \frac{8}{3} - 2 + \frac{10}{3} + 2 - \frac{1}{12} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{5}{3}$

$= 4\log 2 - 4 + \frac{16 - 1}{12} + \frac{1+3-10}{3}$

$= 4\log 2 - 4 + \frac{15}{12} + \frac{-6}{3}$

$= 4\log 2 - 4 + \frac{5}{4} - 2$

$= 4\log 2 - 6 + \frac{5}{4}$

$= 4\log 2 - \frac{19}{4}$

したがって、コサ=19、シス=4、セ=4、ソ=2

3. 最終的な答え

(1) $x=1, 2$

(2) $a = -\frac{5}{3}$ または $a = 2\log 2 - \frac{10}{3}$

(3) $\frac{19}{4} - 4\log 2$