関数 $f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3bx - 2$ が区間 $0 \le x \le 1$ で常に増加するとき、点 $(a, b)$ の存在する範囲を図示せよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3bx - 2$ が区間 $0 \le x \le 1$ で常に増加するとき、点 $(a, b)$ の存在する範囲を図示せよ。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が区間 $0 \le x \le 1$ で常に増加するためには、その導関数 $f'(x)$ が区間 $0 \le x \le 1$ で常に $f'(x) \ge 0$ である必要があります。

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$$f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3b$$

$f'(x) \ge 0$ であるためには、区間 $0 \le x \le 1$ で常に $f'(x) \ge 0$ でなければなりません。

$f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3b \ge 0$ を満たすためには、次の条件が必要です。

1. $f'(0) \ge 0$

2. $f'(1) \ge 0$

3. $f'(x)$ の軸が区間 $[0, 1]$ に含まれる場合、その頂点の $y$ 座標が $0$ 以上である。

まず、$f'(0) \ge 0$ を計算します。

$f'(0) = 3(0)^2 - 6a(0) + 3b = 3b \ge 0$

したがって、$b \ge 0$

次に、$f'(1) \ge 0$ を計算します。

$f'(1) = 3(1)^2 - 6a(1) + 3b = 3 - 6a + 3b \ge 0$

$3b \ge 6a - 3$

$b \ge 2a - 1$

次に、$f'(x)$ の軸を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3b = 3(x^2 - 2ax + b)$

軸の方程式は $x = a$ となります。

軸 $x = a$ が区間 $0 \le x \le 1$ に含まれる場合、つまり $0 \le a \le 1$ の場合、$f'(x)$ の頂点の $y$ 座標が $0$ 以上である必要があります。

$f'(x) = 3(x^2 - 2ax + a^2 - a^2 + b) = 3((x-a)^2 - a^2 + b)$

頂点の $y$ 座標は $-a^2 + b$ なので、 $-a^2 + b \ge 0$

したがって、$b \ge a^2$

$a$ が $0 \le a \le 1$ を満たさない場合を考えます。

$a < 0$ の場合、区間 $0 \le x \le 1$ で $f'(x)$ は増加関数となるため、$f'(0) \ge 0$ であれば $f'(x) \ge 0$ が保証されます。

このとき、$b \ge 0$

$a > 1$ の場合、区間 $0 \le x \le 1$ で $f'(x)$ は減少関数となるため、$f'(1) \ge 0$ であれば $f'(x) \ge 0$ が保証されます。

このとき、$b \ge 2a - 1$

以上の条件をまとめると

1. $b \ge 0$

2. $b \ge 2a - 1$

3. $0 \le a \le 1$ のとき $b \ge a^2$

この不等式を満たす領域を図示します。

3. 最終的な答え

領域は以下の不等式によって定義されます：

$b \ge 0$

$b \ge 2a - 1$

$0 \le a \le 1$ のとき $b \ge a^2$

（図示は省略します。グラフを描画するソフトウェアなどを用いて、これらの不等式が表す領域を描画してください。）