次の関数を微分せよ。 (1) $y = \log \frac{(x+2)^3}{(2x+1)^2}$ (2) $y = \log \frac{x\sqrt{2x+1}}{(2x-1)^2}$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $y = \log \frac{(x+2)^3}{(2x+1)^2}$

(2) $y = \log \frac{x\sqrt{2x+1}}{(2x-1)^2}$

2. 解き方の手順

(1) 対数の性質を用いて式を簡略化し、その後微分します。

まず、対数の商の法則 $\log \frac{A}{B} = \log A - \log B$ を用いると、

$y = \log (x+2)^3 - \log (2x+1)^2$

さらに、対数の冪の法則 $\log A^n = n \log A$ を用いると、

$y = 3 \log (x+2) - 2 \log (2x+1)$

次に、各項を微分します。$\frac{d}{dx} \log u = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$ を用いると、

$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{1}{x+2} \cdot 1 - 2 \cdot \frac{1}{2x+1} \cdot 2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{x+2} - \frac{4}{2x+1}$

最後に、通分して整理すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3(2x+1) - 4(x+2)}{(x+2)(2x+1)} = \frac{6x+3 - 4x-8}{(x+2)(2x+1)} = \frac{2x-5}{(x+2)(2x+1)}$

(2) 同様に、対数の性質を用いて式を簡略化し、その後微分します。

まず、対数の積と商の法則 $\log \frac{AB}{C} = \log A + \log B - \log C$ を用いると、

$y = \log x + \log \sqrt{2x+1} - \log (2x-1)^2$

ここで、$\sqrt{2x+1} = (2x+1)^{\frac{1}{2}}$ であるから、対数の冪の法則 $\log A^n = n \log A$ を用いると、

$y = \log x + \frac{1}{2} \log (2x+1) - 2 \log (2x-1)$

次に、各項を微分します。$\frac{d}{dx} \log u = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$ を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2x+1} \cdot 2 - 2 \cdot \frac{1}{2x-1} \cdot 2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2x+1} - \frac{4}{2x-1}$

最後に、通分して整理すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x+1)(2x-1) + x(2x-1) - 4x(2x+1)}{x(2x+1)(2x-1)} = \frac{4x^2-1 + 2x^2-x - 8x^2-4x}{x(2x+1)(2x-1)} = \frac{-2x^2 - 5x - 1}{x(2x+1)(2x-1)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-5}{(x+2)(2x+1)}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2 - 5x - 1}{x(2x+1)(2x-1)}$