与えられた不等式 $\lVert a - b \rVert \geq \lvert \lVert a \rVert - \lVert b \rVert \rvert$ を示す。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $\lVert a - b \rVert \geq \lvert \lVert a \rVert - \lVert b \rVert \rvert$ を示す。

2. 解き方の手順

まず、三角不等式 $\lVert x + y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert$ を利用する。

$x = a - b$、 $y = b$ とおくと、

$\lVert a \rVert = \lVert (a - b) + b \rVert \leq \lVert a - b \rVert + \lVert b \rVert$ となる。

したがって、 $\lVert a \rVert - \lVert b \rVert \leq \lVert a - b \rVert$ が得られる。

次に、$x = b - a$、 $y = a$ とおくと、

$\lVert b \rVert = \lVert (b - a) + a \rVert \leq \lVert b - a \rVert + \lVert a \rVert$ となる。

したがって、 $\lVert b \rVert - \lVert a \rVert \leq \lVert b - a \rVert = \lVert a - b \rVert$ が得られる。

これは、$-\lVert a - b \rVert \leq \lVert a \rVert - \lVert b \rVert$ と書き換えられる。

上記2つの不等式をまとめると、

$-\lVert a - b \rVert \leq \lVert a \rVert - \lVert b \rVert \leq \lVert a - b \rVert$ となる。

これは、$\lvert \lVert a \rVert - \lVert b \rVert \rvert \leq \lVert a - b \rVert$ と同値である。

したがって、$\lVert a - b \rVert \geq \lvert \lVert a \rVert - \lVert b \rVert \rvert$ が示された。

3. 最終的な答え

$\lVert a - b \rVert \geq \lvert \lVert a \rVert - \lVert b \rVert \rvert$