$p$ を3以上の素数とし、$\theta$ を実数とします。 (1) $\cos 3\theta$ と $\cos 4\theta$ を $\cos \theta$ の式で表してください。 (2) $\cos \theta = \frac{1}{p}$ のとき、$\theta = \frac{m}{n} \pi$ となるような正の整数 $m$, $n$ が存在するかどうかを理由を付けて判定してください。

解析学三角関数3倍角の公式4倍角の公式代数的数超越数arccos
2025/8/13

1. 問題の内容

pp を3以上の素数とし、θ\theta を実数とします。
(1) cos3θ\cos 3\thetacos4θ\cos 4\thetacosθ\cos \theta の式で表してください。
(2) cosθ=1p\cos \theta = \frac{1}{p} のとき、θ=mnπ\theta = \frac{m}{n} \pi となるような正の整数 mm, nn が存在するかどうかを理由を付けて判定してください。

2. 解き方の手順

(1)
cos3θ\cos 3\thetacosθ\cos \theta の式で表すには、3倍角の公式を使います。
cos3θ=4cos3θ3cosθ\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta
cos4θ\cos 4\thetacosθ\cos \theta の式で表すには、2倍角の公式を2回使います。
cos4θ=cos(2(2θ))=2cos2(2θ)1\cos 4\theta = \cos (2(2\theta)) = 2 \cos^2 (2\theta) - 1
さらに、cos2θ=2cos2θ1\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1 より、
cos4θ=2(2cos2θ1)21\cos 4\theta = 2 (2 \cos^2 \theta - 1)^2 - 1
cos4θ=2(4cos4θ4cos2θ+1)1\cos 4\theta = 2 (4 \cos^4 \theta - 4 \cos^2 \theta + 1) - 1
cos4θ=8cos4θ8cos2θ+1\cos 4\theta = 8 \cos^4 \theta - 8 \cos^2 \theta + 1
(2)
cosθ=1p\cos \theta = \frac{1}{p} のとき、θ=mnπ\theta = \frac{m}{n} \pi となるような正の整数 mm, nn が存在するかどうかを判定します。
仮に θ=mnπ\theta = \frac{m}{n} \pi となるような正の整数 mm, nn が存在すると仮定します。
このとき、cosθ=cos(mnπ)=1p\cos \theta = \cos (\frac{m}{n} \pi) = \frac{1}{p} となります。
ここで、cosθ\cos \theta は代数的数である必要があり、1p\frac{1}{p} も代数的数です。
もし θ/π\theta / \pi が有理数ならば、cosθ\cos \theta は代数的数になることが知られています。
しかし、一般的に cos(mnπ)\cos (\frac{m}{n} \pi) は超越数になる可能性があります。
pp は3以上の素数なので、p=3p=3の場合を考えます。
cosθ=13\cos \theta = \frac{1}{3} とすると、θ=arccos(13)\theta = \arccos (\frac{1}{3}) です。
もし arccos(13)=mnπ\arccos (\frac{1}{3}) = \frac{m}{n} \pi となる m,nm, n が存在するとしたら、
cos(mnπ)=13\cos (\frac{m}{n} \pi) = \frac{1}{3} となり、13\frac{1}{3} は代数的数です。
しかし、 arccos(13)/π\arccos (\frac{1}{3}) / \pi は有理数ではないため、このような m,nm, n は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) cos3θ=4cos3θ3cosθ\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta
cos4θ=8cos4θ8cos2θ+1\cos 4\theta = 8 \cos^4 \theta - 8 \cos^2 \theta + 1
(2) cosθ=1p\cos \theta = \frac{1}{p} のとき、θ=mnπ\theta = \frac{m}{n} \pi となるような正の整数 mm, nn は存在しません。

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