$p$ を3以上の素数とし、$\theta$ を実数とします。 (1) $\cos 3\theta$ と $\cos 4\theta$ を $\cos \theta$ の式で表してください。 (2) $\cos \theta = \frac{1}{p}$ のとき、$\theta = \frac{m}{n} \pi$ となるような正の整数 $m$, $n$ が存在するかどうかを理由を付けて判定してください。
2025/8/13
1. 問題の内容
を3以上の素数とし、 を実数とします。
(1) と を の式で表してください。
(2) のとき、 となるような正の整数 , が存在するかどうかを理由を付けて判定してください。
2. 解き方の手順
(1)
を の式で表すには、3倍角の公式を使います。
を の式で表すには、2倍角の公式を2回使います。
さらに、 より、
(2)
のとき、 となるような正の整数 , が存在するかどうかを判定します。
仮に となるような正の整数 , が存在すると仮定します。
このとき、 となります。
ここで、 は代数的数である必要があり、 も代数的数です。
もし が有理数ならば、 は代数的数になることが知られています。
しかし、一般的に は超越数になる可能性があります。
は3以上の素数なので、の場合を考えます。
とすると、 です。
もし となる が存在するとしたら、
となり、 は代数的数です。
しかし、 は有理数ではないため、このような は存在しません。
3. 最終的な答え
(1)
(2) のとき、 となるような正の整数 , は存在しません。