与えられた2つの三角関数の式をそれぞれ簡単にします。 (1) $\cos(\pi - \theta) - \cos(\frac{\pi}{2} + \theta) + \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) + \sin(\pi + \theta)$ (2) $\sin(\frac{5}{8}\pi)\cos(\frac{\pi}{8}) + \sin(\frac{9}{8}\pi)\cos(-\frac{5}{8}\pi)$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた2つの三角関数の式をそれぞれ簡単にします。

(1) $\cos(\pi - \theta) - \cos(\frac{\pi}{2} + \theta) + \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) + \sin(\pi + \theta)$

(2) $\sin(\frac{5}{8}\pi)\cos(\frac{\pi}{8}) + \sin(\frac{9}{8}\pi)\cos(-\frac{5}{8}\pi)$

2. 解き方の手順

(1) 三角関数の公式を利用して式を簡略化します。

$\cos(\pi - \theta) = -\cos(\theta)$

$\cos(\frac{\pi}{2} + \theta) = -\sin(\theta)$

$\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos(\theta)$

$\sin(\pi + \theta) = -\sin(\theta)$

これらの公式を適用すると、

$\cos(\pi - \theta) - \cos(\frac{\pi}{2} + \theta) + \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) + \sin(\pi + \theta) = -\cos(\theta) - (-\sin(\theta)) + \cos(\theta) + (-\sin(\theta))$

$= -\cos(\theta) + \sin(\theta) + \cos(\theta) - \sin(\theta) = 0$

(2) 三角関数の積和の公式と、$\cos(-x) = \cos(x)$ を利用して式を簡略化します。

まず、$\sin(\frac{9}{8}\pi) = \sin(\pi + \frac{\pi}{8}) = -\sin(\frac{\pi}{8})$

$\cos(-\frac{5}{8}\pi) = \cos(\frac{5}{8}\pi)$

したがって、

$\sin(\frac{5}{8}\pi)\cos(\frac{\pi}{8}) + \sin(\frac{9}{8}\pi)\cos(-\frac{5}{8}\pi) = \sin(\frac{5}{8}\pi)\cos(\frac{\pi}{8}) - \sin(\frac{\pi}{8})\cos(\frac{5}{8}\pi)$

これは、三角関数の加法定理 $\sin(A-B) = \sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B)$ の形をしているので、

$\sin(\frac{5}{8}\pi)\cos(\frac{\pi}{8}) - \sin(\frac{\pi}{8})\cos(\frac{5}{8}\pi) = \sin(\frac{5}{8}\pi - \frac{\pi}{8}) = \sin(\frac{4}{8}\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 1