定積分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 3x^2} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 3x^2} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x = \frac{1}{\sqrt{3}} \sin \theta$ と置換します。すると、$dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \cos \theta \, d\theta$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x=0$ のとき、$\frac{1}{\sqrt{3}} \sin \theta = 0$ より $\sin \theta = 0$ なので、$\theta = 0$ です。

$x=\frac{1}{2}$ のとき、$\frac{1}{\sqrt{3}} \sin \theta = \frac{1}{2}$ より $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$\theta = \frac{\pi}{3}$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1 - 3(\frac{1}{\sqrt{3}} \sin \theta)^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cos \theta \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cos \theta \, d\theta$

$\sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \cos \theta$ なので、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos \theta \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cos \theta \, d\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos^2 \theta \, d\theta$

$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ を用いて、

$\frac{1}{\sqrt{3}} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2\sqrt{3}} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 + \cos 2\theta) \, d\theta$

$\frac{1}{2\sqrt{3}} \left[ \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} \left[ \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{3} - (0 + \frac{1}{2} \sin 0) \right]$

$\sin \frac{2\pi}{3} = \sin (\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、

$\frac{1}{2\sqrt{3}} \left[ \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right] = \frac{1}{2\sqrt{3}} \left[ \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right] = \frac{\pi}{6\sqrt{3}} + \frac{1}{8}$

有理化すると、$\frac{\pi \sqrt{3}}{18} + \frac{1}{8}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi \sqrt{3}}{18} + \frac{1}{8}$