定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin{x} \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin{x} \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を2回用います。

まず、$u = x^2$, $dv = \sin{x} \, dx$ とすると、$du = 2x \, dx$, $v = -\cos{x}$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を用いると、

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\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin{x} \, dx = \left[ -x^2 \cos{x} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (-\cos{x}) (2x) \, dx

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= \left[ -x^2 \cos{x} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos{x} \, dx

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ここで、$\left[ -x^2 \cos{x} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \cos{\frac{\pi}{2}} - (-0^2 \cos{0}) = 0$ なので、

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\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin{x} \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos{x} \, dx

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次に、$u = x$, $dv = \cos{x} \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = \sin{x}$ となります。

再び部分積分の公式を用いると、

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\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos{x} \, dx = \left[ x \sin{x} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{x} \, dx

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= \left[ x \sin{x} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \left[ -\cos{x} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}

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= \left[ x \sin{x} + \cos{x} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}

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= \left( \frac{\pi}{2} \sin{\frac{\pi}{2}} + \cos{\frac{\pi}{2}} \right) - (0 \sin{0} + \cos{0})

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= \frac{\pi}{2} (1) + 0 - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1

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したがって、

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\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin{x} \, dx = 2 \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) = \pi - 2

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3. 最終的な答え

$\pi - 2$