放物線 $C: y = x^2 - 2x + 4$ が与えられています。 (1) 点 (2, 0) から放物線 C に引いた2本の接線の方程式を求めます。 (2) 放物線 C と (1) で求めた2本の接線によって囲まれた部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 - 2x + 4$ が与えられています。

(1) 点 (2, 0) から放物線 C に引いた2本の接線の方程式を求めます。

(2) 放物線 C と (1) で求めた2本の接線によって囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $C: y = x^2 - 2x + 4$ 上の点 $(t, t^2 - 2t + 4)$ における接線を考えます。

$y' = 2x - 2$ なので、接線の傾きは $2t - 2$ となります。

したがって、接線の方程式は、

$y - (t^2 - 2t + 4) = (2t - 2)(x - t)$

$y = (2t - 2)x - 2t^2 + 2t + t^2 - 2t + 4$

$y = (2t - 2)x - t^2 + 4$

この接線が点 (2, 0) を通るので、

$0 = (2t - 2) \cdot 2 - t^2 + 4$

$0 = 4t - 4 - t^2 + 4$

$t^2 - 4t = 0$

$t(t - 4) = 0$

よって、$t = 0, 4$

$t = 0$ のとき、接線の方程式は $y = -2x + 4$

$t = 4$ のとき、接線の方程式は $y = (2 \cdot 4 - 2)x - 4^2 + 4 = 6x - 12$

(2)

2つの接線の交点を求めます。

$-2x + 4 = 6x - 12$

$8x = 16$

$x = 2$

$y = -2(2) + 4 = 0$

交点は (2, 0) です。

放物線と接線 $y = -2x + 4$ で囲まれた部分の積分範囲は、

$x^2 - 2x + 4 = -2x + 4$

$x^2 = 0$

$x = 0$

放物線と接線 $y = 6x - 12$ で囲まれた部分の積分範囲は、

$x^2 - 2x + 4 = 6x - 12$

$x^2 - 8x + 16 = 0$

$(x - 4)^2 = 0$

$x = 4$

求める面積は、

$\int_0^4 |(x^2 - 2x + 4) - (-2x + 4)| dx + \int_2^4 |(x^2 - 2x + 4) - (6x - 12)| dx$

$= \int_0^2 (x^2) dx + \int_2^4 (x^2 - 8x + 16) dx$

$= \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^2 + \left[ \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 16x \right]_2^4$

$= \frac{8}{3} + \left( \frac{64}{3} - 64 + 64 \right) - \left( \frac{8}{3} - 16 + 32 \right)$

$= \frac{8}{3} + \frac{64}{3} - \frac{8}{3} + 16 - 32$

$= \frac{64}{3} - 16 = \frac{64 - 48}{3} = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

(1)

$y = -2x + 4$

$y = 6x - 12$

(2)

$\frac{16}{3}$