放物線 $y = x^2 - 2x + 4$ 上の点 $(-2, 12)$ における接線と点 $(2, 4)$ における接線を引く。このとき、放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2x + 4$ 上の点 $(-2, 12)$ における接線と点 $(2, 4)$ における接線を引く。このとき、放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの点における接線を求めます。

$y = x^2 - 2x + 4$ を微分すると、

$y' = 2x - 2$

点 $(-2, 12)$ における接線の傾きは、

$y'(-2) = 2(-2) - 2 = -6$

よって、接線の方程式は、

$y - 12 = -6(x + 2)$

$y = -6x$

点 $(2, 4)$ における接線の傾きは、

$y'(2) = 2(2) - 2 = 2$

よって、接線の方程式は、

$y - 4 = 2(x - 2)$

$y = 2x$

次に、2つの接線の交点を求めます。

$-6x = 2x$

$8x = 0$

$x = 0$

したがって、交点は $(0, 0)$ です。

求める面積 $S$ は、放物線とそれぞれの接線で囲まれた部分の面積の和から計算できます。

放物線と接線 $y = -6x$ で囲まれた部分の面積は、

$\int_{-2}^0 (x^2 - 2x + 4 - (-6x)) dx = \int_{-2}^0 (x^2 + 4x + 4) dx$

$= [\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x]_{-2}^0 = 0 - (\frac{1}{3}(-8) + 2(4) + 4(-2)) = 0 - (-\frac{8}{3} + 8 - 8) = \frac{8}{3}$

放物線と接線 $y = 2x$ で囲まれた部分の面積は、

$\int_0^2 (x^2 - 2x + 4 - 2x) dx = \int_0^2 (x^2 - 4x + 4) dx$

$= [\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x]_0^2 = (\frac{1}{3}(8) - 2(4) + 4(2)) - 0 = \frac{8}{3} - 8 + 8 = \frac{8}{3}$

したがって、求める面積 $S$ は、

$S = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{3}$