関数 $f(x)$ が、$f(x) = x^2 + x \int_0^1 f(t) dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が、$f(x) = x^2 + x \int_0^1 f(t) dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\int_0^1 f(t) dt$ は定数なので、$A = \int_0^1 f(t) dt$ とおく。

すると、$f(x) = x^2 + Ax$ となる。

次に、この $f(x)$ を用いて $A$ を求める。

$A = \int_0^1 f(t) dt = \int_0^1 (t^2 + At) dt$

$A = \left[ \frac{1}{3}t^3 + \frac{A}{2}t^2 \right]_0^1$

$A = \frac{1}{3} + \frac{A}{2}$

この式を $A$ について解くと、

$A - \frac{A}{2} = \frac{1}{3}$

$\frac{A}{2} = \frac{1}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

したがって、$f(x) = x^2 + \frac{2}{3}x$ となる。

3. 最終的な答え

$f(x) = x^2 + \frac{2}{3}x$